第3讲导数的综合应用(B)(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号导数与不等式1,2,3导数与函数零点41
(2018·广西三市第二次调研)设函数f(x)=x2+ax-lnx(a∈R)
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)若对任意a∈(3,4)及任意x1,x2∈[1,2],恒有+ln2>|f(x1)-f(x2)|成立,求实数m的取值范围
解:(1)函数的定义域为(0,+∞),当a=1时,f(x)=x-lnx,f′(x)=1-=
当0-+ln2,因为a∈(3,4),所以m>,由30lnx0,所以(x)在(1,+∞)上单调递增,(x)>(1)=1>0,p′(x)>0,所以p(x)在(1,+∞)上单调递增,所以p(x)>p(1)=2,所以>,令h(x)=,则h′(x)=,因为x>1,所以1-exh(x),即(x+1)(x+)f(x)>2(1+)
(2018·福建南平5月质检)已知函数f(x)=aelnx和g(x)=x2-(a+e)x(a>0)
(1)设h(x)=f(x)+g(x),求函数h(x)的单调区间;(2)当x∈(,+∞)时,M为函数f(x)=aelnx图象与函数m(x)=2-图象的公共点,且在点M处有公共切线,求点M的坐标及实数a的值
解:(1)h(x)=aelnx+x2-(a+e)x(x>0),h′(x)=+x-(a+e)==
①当0e,在x∈(0,e)时,h′(x)>0,函数h(x)在(0,e)上单调递增,在x∈(e,a)时,h′(x)0,函数h(x)在(a,+∞)上单调递增
综上,当0,在点M(x0,y0)处有公共切线,设切线斜率为k,因为f′(x)=,m′(x)=,所以k==,即ax0=1,由M(x0,y0)是函数f(x)=aelnx与函数m(x)=2-图象的公共点,所以y0=aelnx0=2-,化简可得aex0lnx0=2x0-e,将ax0
