6．圆锥曲线1．(2017·苏州期末)如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点P(2，－1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过点P作两条直线分别交椭圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．解(1)由e＝＝，得a∶b∶c＝2∶1∶，椭圆C的方程为＋＝1.把P(2，－1)代入，得b2＝2，所以椭圆C的方程是＋＝1.(2)由已知得PA，PB的斜率存在，且互为相反数．设直线PA的方程为y＋1＝k(x－2)，其中k≠0.由消去y，得x2＋4[kx－(2k＋1)]2＝8，即(1＋4k2)x2－8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－8＝0，因为该方程的两根为2，xA，所以2xA＝，即xA＝，从而yA＝.把k换成－k，得xB＝，yB＝.故kAB＝＝＝－，是定值．2．(2017·常州期末)已知圆C：(x－t)2＋y2＝20(t＜0)与椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的一个公共点为B(0，－2)，F(c,0)为椭圆E的右焦点，直线BF与圆C相切于点B.(1)求t的值以及椭圆E的方程；(2)过点F任作与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于M，N两点，在x轴上是否存在一定点P，使PF恰为∠MPN的平分线？解(1)由题意得b＝2.因为C(t,0)，B(0，－2)，所以BC＝＝，所以t＝±4.因为t＜0，所以t＝－4.因为BC⊥BF，所以20＋c2＋4＝(c＋4)2，所以c＝1，所以a2＝b2＋c2＝5.所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l：y＝k(x－1)(k≠0)，代入＋＝1，化简得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0，所以若点P存在，设P(m,0)，由题意kPM＋kPN＝0，1所以＋＝＋＝0，所以(x1－1)(x2－m)＋(x2－1)(x1－m)＝0，即2x1x2－(1＋m)(x1＋x2)＋2m＝2·－(1＋m)＋2m＝0，所以8m－40＝0，所以m＝5.所以存在定点P(5,0)，使PF恰为∠MPN的平分线．3．(2017·无锡期末)已知椭圆＋＝1，动直线l与椭圆交于B，C两点(点B在第一象限)．(1)若点B的坐标为，求△OBC面积的最大值；(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，且3y1＋y2＝0，求当△OBC的面积最大时直线l的方程．解(1)直线OB方程为y＝x，即3x－2y＝0，设过点C且平行于OB的直线l′方程为y＝x＋b.则当l′与椭圆只有一个公共点时，△OBC的面积最大．由消去y整理得3x2＋3bx＋b2－3＝0，此时Δ＝9b2－12(b2－3)，令Δ＝0，解得b＝±2，当b＝2时，C；当b＝－2时，C，所以△OBC面积的最大值为××＝.(2)显然，直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为x＝my＋n.由消去x并整理得(3m2＋4)y2＋6mny＋3n2－12＝0，所以因为3y1＋y2＝0，所以从而＝，即n2＝，所以S△OBC＝|n|·|y1－y2|＝2|n|·|y1|＝＝.因为B在第一象限，所以x1＝my1＋n＝＋n＞0，所以n＞0.因为y1＞0，所以m＞0，所以S△OBC＝＝≤＝，当且仅当3m＝，即m＝时取等号，此时n＝，所以直线l的方程为x＝y＋，即y＝x－.4．(2017·南京、盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于M，N两点，求的值；(3)记直线l与y轴的交点为P，若AP＝TB，求直线l的斜率k.解(1)由点(b,2e)在椭圆C上，得＋＝1.因为e2＝＝＝1－，所以＋＝.2又b2＜a2＝8，解得b2＝4，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，由对称性知N(－x0，－y0)，其中y1＜0.因为MN∥AB，所以＝.直线AB的方程为y＝k(x－1)，直线MN的方程为y＝kx，其中k＞0.由消去x，得(1＋2k2)y2＋2ky－7k2＝0，所以y1y2＝.由消去x，得(1＋2k2)y2＝8k2，所以y＝，从而得＝.(3)由AP＝TB，得－x1＝(x2－1)．由消去y，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－8＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.又因为－x1＝(x2－1)，所以x1＝，x2＝，从而·＝.整理得50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2或k2＝－(舍)．因为k＞0，所以k＝.3
