第二章推理与证明（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.证明：＜1＋＋＋＋…＋＜n＋1（n＞1），当n＝2时，中间式子等于（）A.1B.1＋C.1＋＋D.1＋＋＋解析：选D.n＝2时中间式子的最后一项为，所以中间式子为1＋＋＋.2.用反证法证明命题：“若函数f（x）＝x2＋px＋q，那么|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于”时，反设正确的是（）A.假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都不小于B.假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于C.假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|至多有两个小于D.假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|至多有一个小于解析：选B.“|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于”的反设为“|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于”.3.设x＞0，则不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，推广到x＋≥n＋1，则a＝（）A.2nB.2nC.n2D.nn解析：选D.结合已知的三个不等式可以发现第二个加数的分子是分母x的指数的指数次方，可得a＝nn.4.下面是一段“三段论”推理过程：若函数f（x）在（a，b）内可导且单调递增，则在（a，b）内，f′（x）>0恒成立.因为f（x）＝x3在（－1，1）内可导且单调递增，所以在（－1，1）内，f′（x）＝3x2>0恒成立.以上推理中（）A.大前提错误B.小前提错误C.结论正确D.推理形式错误解析：选A.f（x）在（a，b）内可导且单调递增，则在（a，b）内，f′（x）≥0恒成立，故大前提错误，故选A.5.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＝时，由n＝k到n＝k＋1左边需要添加的项是（）A.B.C.D.解析：选D.由n＝k到n＝k＋1时，左边需要添加的项是＝.故选D.6.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证
0B.a－c<0C.（a－b）（a－c）>0D.（a－b）（a－c）<0解析：选C.要证明0，即证（a－c）（2a＋c）>0，即证（a－c）（a－b）>0.7.若＝＝，则△ABC是（）A.等边三角形B.有一个内角是30°的直角三角形1C.等腰直角三角形D.有一个内角是30°的等腰三角形解析：选C.因为＝＝，由正弦定理得，＝＝，所以＝＝＝.所以sinB＝cosB，sinC＝cosC，所以∠B＝∠C＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形.8.已知f（x）＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b＞0，a＋c＞0，b＋c＞0，则f（a）＋f（b）＋f（c）的值一定（）A.大于0B.等于0C.小于0D.正负都可能解析：选A.f（x）为奇函数，也是增函数，因此由a＋b＞0可得a＞－b，所以f（a）＞f（－b），即f（a）＞－f（b），于是f（a）＋f（b）＞0，同理，f（a）＋f（c）＞0，f（b）＋f（c）＞0，所以f（a）＋f（b）＋f（c）＞0.9.我们把平面中的结论“到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆”拓展至空间中为“到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知A（－1，0，0），B（1，0，0），则点集{P（x，y，z）||PA|－|PB|＝1}在空间中的轨迹描述正确的是（）A.以A，B为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面B.以A，B为焦点的椭球体C.以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面D.以上都不对解析：选C.在平面中，点集{P（x，y）||PA|－|PB|＝1}是以A，B为焦点的双曲线的一支，点集{P（x，y，z）||PA|－|PB|＝1}在空间中的轨迹是以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面，故选C.10.我国古代数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”是高，“幂”是截面积.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，区域①是一个形状不规则的封闭图形，区域②是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y＝t被区域①和区域②所截得的两线段长总相等，则区域①的面积为（）A.4B.C.5D.解析：选B.根据题意，由祖暅原理分析可得①的面积等于②的面积，又②是一个上底长为1、下底长为2的梯形，所以①的面积为＝.11.已知“整数对”按如下规律排成一列：（1，1）...
