第二课时等比数列的性质及应用1.公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a4a6=16,则a7等于(B)(A)(B)1(C)2(D)4解析:由a4a6=16得=16,因为{an}各项都是正数,所以a5=4,所以a7=a5q2=4×()2=1.故选B.2.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为(C)(A)100(B)-100(C)10000(D)-10000解析:由lg(a3a8a13)=6,得a3a8a13=106,所以=106,所以a8=100,a1a15==10000,故选C.3.已知等比数列{an}中,a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于(C)(A)2(B)4(C)8(D)16解析:等比数列{an}中,a3a11==4a7,解得a7=4.等差数列{bn}中,b5+b9=2b7=2a7=8.故选C.4.记等比数列{an}的前n项积为Ⅱn,若a4·a5=2,则Ⅱ8等于(C)(A)256(B)81(C)16(D)1解析:由题意可知a4a5=a1a8=a2a7=a3a6=2,则Ⅱ8=a1a2a3a4a5a6a7a8=(a4a5)4=24=16.故选C.5.(2017·浙江宁波效实中学期中)在各项均为正数的等比数列{an}中,a3=-1,a5=+1,则+2a2a6+a3a7等于(A)(A)8(B)6(C)4(D)8-41解析:因为数列{an}是等比数列,所以+2a2a6+a3a7=+2a3a5+=(a3+a5)2=8,故选A.6.已知数列{an}的首项a1=2,数列{bn}为等比数列,且bn=.若b10b11=2,则a21等于(C)(A)29(B)210(C)211(D)212解析:由已知,得b1b2…b20=··…·==.因为{bn}为等比数列,所以b1b2…b20=(b10b11)10=210,所以a21=2b1b2…b20=211,故选C.7.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=4(a1+a3+…+a2n-1),a1a2a3=27,则a6等于(C)(A)27(B)81(C)243(D)729解析:由题可得a1a2a3==27,即a2=3.因为S2n=4(a1+a3+…+a2n-1),所以当n=1时,有S2=a1+a2=4a1,从而可得a1=1,q=3,所以a6=1×35=243,故选C.8.已知x,y,z∈R,若-1,x,y,z,-3成等比数列,则xyz的值为(C)(A)-3(B)±3(C)-3(D)±3解析:由等比中项知y2=3,所以y=±,又因为y与-1,-3符号相同,所以y=-,y2=xz,所以xyz=y3=-3.9.等比数列{an}中,a1=3,a4=24,则a3+a4+a5等于(C)(A)33(B)72(C)84(D)189解析:由已知,得q3==8,解得q=2,则有a3+a4+a5=a1(q2+q3+q4)=3×(4+8+16)=84.故选C.10.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=.解析:由{an}为等比数列,得a10a11=a9a12=a1a20=e5,于是lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2a3…a20)=ln(a1a20)10=ln(e5)10=lne50=50.2答案:5011.三个正数成等差数列,它们的和等于15,如果它们分别加上1,3,9就成为等比数列,则此三个数分别为.解析:设所求三个数为a-d,a,a+d.由题意得解得或又因为a-d,a,a+d为正数,所以a=5,d=2,故所求三个数分别为3,5,7.答案:3,5,712.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于平方厘米.解析:依题意这10个正方形的边长构成以2为首项,为公比的等比数列{an}(1≤n≤10,n∈N*),则第10个正方形的面积S==[2×()9]2=4×29=2048(平方厘米).答案:204813.已知数列{an}成等比数列.(1)若a2=4,a5=-,求数列{an}的通项公式;(2)若a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.解:(1)由a5=a2q3,得-=4·q3,所以q=-,an=a2qn-2=4×(-)n-2=(-)n-4.(2)由a3a5=,得a3a4a5==8.解得a4=2.又因为a2a6=a3a5=,所以a2a3a4a5a6==25=32.314.已知互不相等的三个数之积为-8,这三个数适当排列后可成为等比数列,也可成为等差数列,求这三个数排成的等差数列.解:设三数为,a,aq(q≠1).由题意,得a3=-8,解得a=-2.①若-2是与-2q的等差中项,则+2q=4,即q=1,与题设矛盾.②若-2q是-2与的等差中项,则2+=4q,即2q2-q-1=0.因为q≠1,所以q=-.所以三数为-2,1,4.③若是-2与-2q的等差中项,则2+2q=,即q2+q-2=0.因为q≠1,所以q=-2.所以三数为-2,1,4.综上所述,由这三数排成的等差数列为-2,1,4或4,1,-2.15.若{an}是公差d≠0的等差数列,{bn}是公比q≠1的等比数列,已知a1=b1=1,且a2=b2,a6=b3.(1)求d和q;(2)是否存在常数a,b,使对一切n∈N*都有an=logabn+b成立?若存在求出a,b的值,若不存在,请说明理由.解:(1)由题意得解得d=3,q=4.(2)假设存在常数a,b.由(1)易得an=3n-2,bn=4n-1,代入an=logabn+b得3n-2=loga4n-1+b,即(3-loga4)n+(loga4-b-2)=0对n∈N*都成立,所以所以所以存在常数a=,b=1,使对一切n∈N*,都有an=logabn+b成立.416.在由正数组成的等比数列{an}中,...
