课时作业(八)椭圆的简单几何性质A组基础巩固1．以椭圆＋＝1的短轴顶点为焦点，离心率为e＝的椭圆方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：＋＝1的短轴顶点为(0，－3)，(0,3)，∴所求椭圆的焦点在y轴上，且c＝3.又e＝＝，∴a＝6.∴b2＝a2－c2＝36－9＝27.∴所求椭圆方程为＋＝1.答案：A2．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜9)的()A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆，前者焦距为2c＝2＝8，后者焦距为2c＝2＝8，故选D.答案：D3．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A.B.C．2－D.－1解析：由已知|PF2|＝2c，∴|PF1|＝2c.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，即2c＋2c＝2a，∴e＝＝＝－1.答案：D4．已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝，则椭圆的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析： △AF1B的周长为16，∴4a＝16，∴a＝4， e＝，∴c＝2，∴b2＝4.答案：D5．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于()A.B.C.D.解析： 椭圆焦点在x轴上，∴0＜m＜2，a＝，c＝，e＝＝＝.故＝，∴m＝.答案：B6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP＝2PB，则椭圆的离心率是()A.B.C.D.解析：对于椭圆，因为AP＝2PB，则OA＝2OF，所以a＝2c.所以e＝.答案：D7．一个顶点为(0,2)，离心率e＝，坐标轴为对称轴的椭圆方程为__________．解析：(1)当椭圆焦点在x轴上时，由已知得b＝2，e＝＝，∴a2＝，b2＝4，∴方程为＋＝1.1(2)当椭圆焦点在y轴上时，由已知得a＝2，e＝＝，∴a2＝4，b2＝3，∴方程为＋＝1.答案：＋＝1或＋＝18．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0＜＋y＜1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．解析：由于0＜＋y＜1，所以点P(x0，y0)在椭圆＋y2＝1内部，且不能与原点重合．根据椭圆的定义和几何性质知，|PF1|＋|PF2|＜2a＝2，且|PF1|＋|PF2|的最小值为点P落在线段F1F2上，此时|PF1|＋|PF2|＝2.故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2,2)．答案：[2,2)9．椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：如图所示，设椭圆右焦点为F1，AB与x轴交于点H，则|AF|＝2a－|AF1|，△ABF的周长为2|AF|＋2|AH|＝2(2a－|AF1|＋|AH|)， △AF1H为直角三角形，∴|AF1|＞|AH|，仅当|AF1|＝|AH|，即F1与H重合时，△AFB的周长最大，即最大周长为2(|AF|＋|AF1|)＝4a＝12，∴a＝3，而b＝，∴c＝2，离心率e＝＝.答案：10．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.解：(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)， 椭圆过点A(2,0)，∴＝1，a＝2. 2a＝2·2b，∴b＝1，∴方程为＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)， 椭圆过点A(2,0)，∴＋＝1，∴b＝2,2a＝2·2b，∴a＝4，∴方程为＋＝1.综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.(2)由已知∴从而b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.B组能力提升11．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.－2解析：因为A，B为左，右顶点，F1，F2为左，右焦点，所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.2又因为|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2.所以离心率e＝＝，故选B.答案：B12．如图所示，将椭圆＋＝1的长轴(线段AB)分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________.解析：由椭圆的对称性及定义易知|P1F|＋|P7F|＝2a，|P2F|＋|P6F|＝2a，|P3F|＋|P5F|＝2a，|P4F|＝a，∴|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|＝7a， a＝5，∴所求式子的值为35，故填...
