课后限时集训(十七)定积分与微积分基本定理(建议用时：40分钟)A组基础达标一、选择题1．(2019·湖北模拟)已知t是常数，若(2x－2)dx＝8，则t＝()A．1B．－2C．－2或4D．4D[由(2x－2)dx＝8得，(x2－2x)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．]2．(2019·四平模拟)dx的值为()A.B．C．πD．2πA[令y＝，则(x－1)2＋y2＝1，(y＞0)．∴表示由曲线y＝，x＝0，x＝1及x轴围成的曲边图形的面积，即圆面积的，∴＝.]3．(2018·柳州一模)设f(x)＝－xcostdt，则f＝()A．1B．sinC．sin2D．2sinD[∵f(x)＝－xcostdt＝sint＝2sinx，∴f＝2sin＝，∴f＝2sin.]4．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．2B．4C．2D．4D[如图，y＝4x与y＝x3的交点A(2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积．S阴＝(4x－x3)dx＝＝8－×24＝4，故选D．]5．若S1＝dx，S2＝(lnx＋1)dx，S3＝xdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S1＜S2A[如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A.]6．如果1N的力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为()A．0.18JB．0.26JC．0.12JD．0.28JA[设F(x)＝kx，当x＝0.01m时，F(x)＝1，可知k＝100.∴所耗费的功W＝∫100xdx＝50x2＝0.18J．]7．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝()A．－1B．－C.D．1B[由题意知f(x)＝x2＋2f(x)dx，设m＝f(x)dx，∴f(x)＝x2＋2m，f(x)dx＝(x2＋2m)dx＝＝＋2m＝m，∴m＝－.]二、填空题8.已知二次函数y＝f(x)的图像如图所示，则它与x轴所围成的面积为________．[由图可知f(x)＝－x2＋1.∴它与x轴所围成的面积S＝－1(1－x2)dx＝＝－＝＋＝.]9．汽车以72km/h的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a＝4m/s2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m.50[先求从刹车到停车所用的时间，当t＝0时，v0＝72km/h＝20m/s，刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)＝v0－at＝20－4t.令v(t)＝0，可得t＝5s，所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：(20－4t)dt＝(20t－2t2)＝50(m)．即汽车从开始刹车到停止，共走了50m．]10．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(x0)，x0＞0，则x0＝________.[依题意得f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝x3＋bx＝3(ax＋b)，即3ax＝9a(a≠0)，x＝3(x0＞0)，由此解得x0＝.]B组能力提升1．已知f(x)＝，则－πf(x)dx＝()A．2＋πB．C．－2＋D．－2D[－πf(x)dx＝－πsinxdx＋dx，－πsinxdx＝－cosx＝－2，dx的几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积的，故dx＝，所以－πf(x)dx＝－2，故选D．]2．(2019·合肥一检)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C的方程为x2－y＝0)的点的个数的估计值为()A．5000B．6667C．7500D．7854B[图中阴影部分的面积为(1－x2)dx＝＝，又正方形的面积为1，则10000个点落入阴影部分个数估计为10000×≈6667，故选B．]3．设a＞0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.[封闭图形如图所示，则dx＝x＝a－0＝a2，解得a＝.]4．(2019·长春模拟)在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝x与直线x＝1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥＝πx2dx＝x3＝.据此类比：将曲线y＝2lnx与直线y＝1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V＝________.π(e－1)[类比已知结论，将曲线y＝2lnx与直线y＝1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e)2＝πey，积分变量为y，积分区间为[0,1]，即V＝πeydy＝πey＝π(e－1)．]
