第十六讲坐标系与参数方程1.(2018吉林长春质量检测)在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ2(1+3sin2θ)=4,曲线C2:{x=2+2cosθ,y=2sinθ(θ为参数).(1)求曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程;(2)极坐标系中两点A(ρ1,θ0),B(ρ2,θ0+π2)都在曲线C1上,求1ρ12+1ρ22的值.2.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2,在以极点为直角坐标原点O,极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为{x=❑√22t,y=3❑√5+❑√22t(t为参数).(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)在平面直角坐标系中,设曲线C经过伸缩变换:{x'=12x,y'=y,得到曲线C',若M(x,y)为曲线C'上任意一点,求点M到直线l的最小距离.3.(2018山西八校第一次联考)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是{x=3+5cosα,y=4+5sinα(α为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)设l1:θ=π6,l2:θ=π3,若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,求△AOB的面积.4.(2018湖北武汉模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为{x=2t-1,y=-4t-2(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=21-cosθ.(1)求曲线C2的直角坐标方程;(2)设M1是曲线C1上的点,M2是曲线C2上的点,求|M1M2|的最小值.5.(2018成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为{x=2+12t,y=2+❑√32t(t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ=ρ.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)已知点M在直角坐标系中的坐标为(2,2),若直线l与曲线C相交于不同的两点A,B,求|MA|·|MB|的值.6.(2018广西南宁二中、柳州高中第二次联考)在直角坐标系中,曲线C的参数方程为{x=3cosα,y=2sinα(α为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线D的极坐标方程为ρ=4sin(θ-π6).(1)写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程;(2)若过点A(2❑√2,π4)(极坐标)且倾斜角为π3的直线l与曲线C交于M,N两点,弦MN的中点为P,求|AP||AM|·|AN|的值.7.(2018河南洛阳第一次统考)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为{x=t,y=m+t(t为参数,m∈R),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2=33-2cos2θ(0≤θ≤π).(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知点P是曲线C2上一点,若点P到曲线C1的最小距离为2❑√2,求m的值.8.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为{x=a+❑√2t2,y=1+❑√2t2(t为参数,a∈R).以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知曲线C1与曲线C2交于A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数a的值.答案精解精析1.解析(1)由题意可得,曲线C1的直角坐标方程为x24+y2=1,C2的普通方程为(x-2)2+y2=4.(2)由点A,B在曲线C1上,得ρ12=41+3sin2θ0,ρ22=41+3sin2(θ0+π2),则1ρ12=1+3sin2θ04,1ρ22=1+3cos2θ04,因此1ρ12+1ρ22=1+3sin2θ04+1+3cos2θ04=54.2.解析(1)由{x=❑√22t,y=3❑√5+❑√22t消去参数t,得y=x+3❑√5.∴直线l的普通方程为x-y+3❑√5=0. x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴x2+y2=ρ2=4.∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4.(2)由{x'=12x,y'=y得{x=2x',y=y',代入方程x2+y2=4,得x'2+y'24=1.已知M(x,y)为曲线C'上任意一点,故可设M(cosα,2sinα),其中α为参数.则点M到直线l的距离d=|cosα-2sinα+3❑√5|❑√2=|❑√5cos(α+β)+3❑√5|❑√2,其中tanβ=2.∴点M到直线l的最小距离为3❑√5-❑√5❑√2=❑√10.3.解析(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25,即x2+y2-6x-8y=0.∴曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ.(2)设A(ρ1,π6),B(ρ2,π3).把θ=π6代入ρ=6cosθ+8sinθ,得ρ1=4+3❑√3,∴A(4+3❑√3,π6),把θ=π3代入ρ=6cosθ+8sinθ,得ρ2=3+4❑√3,∴B(3+4❑√3,π3).∴S△AOB=12ρ1ρ2sin∠AOB=12×(4+3❑√3)×(3+4❑√3)sin(π3-π6)=12+25❑√34.4.解析(1) ρ=21-cosθ,...
