第三节平面向量的数量积及应用举例课时作业练1.(2017兴化第一中学高三月考)已知向量a=(1,x),向量b=(-2,1),若a⊥b,则实数x=.答案22.已知a=(-1,3),b=(1,t),若(a-2b)⊥a,则|a+b|=.答案5解析由题意可得a-2b=(-3,3-2t),则(a-2b)⊥a(a-2b)·a=3+3(3-2t)=0,⇔解得t=2,则a+b=(-1,3)+(1,2)=(0,5),故|a+b|=5.3.(2017江苏天一中学高三质量检测)如图,在2×4的方格纸中,若a和b是起点和终点均在格点的向量,则向量2a+b与a-b的夹角余弦值是.答案-√1010解析以a的起点为坐标原点建立平面直角坐标系,则a=(2,-1),b=(3,2),则向量2a+b=(7,0)与a-b=(-1,-3)的夹角余弦值是(2a+b)·(a-b)|2a+b||a-b|=(7,0)·(-1,-3)7√10=-77√10=-√1010.4.(2018江苏南京多校高三段考)如图,在△ABC中,AB=AC=3,cos∠BAC=13,⃗DC=2⃗BD,则⃗AD·⃗BC的值为.答案-21解析⃗AB·⃗AC=3,⃗AD=⃗AB+13⃗BC=⃗AB+13(⃗AC-⃗AB)=23⃗AB+13⃗AC,则⃗AD·⃗BC=(23⃗AB+13⃗AC)·(⃗AC-⃗AB)=-23×9+13×9+13×3=-2.5.(2018江苏三校高三联考)在矩形ABCD中,AB=√3,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若⃗AE·⃗BF=1,则⃗AB·⃗AF的值为.答案2解析以点A为坐标原点,AD、AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则D(2,0),B(0,√3),E(1,√3),设F(2,y),y∈[0,√3],则⃗AE·⃗BF=(1,√3)·(2,y-√3)=√3y-1=1,y=2√3,则F(2,2√3),则⃗AB·⃗AF=(0,√3)·(2,2√3)=2.6.(2018南京高三学情调研)在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=120°,⃗BM=λ⃗BC.若⃗AM·⃗BC=-173,则实数λ的值为.答案13解析由题意可得⃗AB·⃗AC=3×2×(-12)=-3,⃗AM·⃗BC=(⃗AB+⃗BM)·⃗BC=(⃗AB+λ⃗BC)·⃗BC=[(1-λ)⃗AB+λ⃗AC]·(⃗AC-⃗AB)=(1-2λ)⃗AB·⃗AC+λ⃗AC2-(1-λ)⃗AB2=-3(1-2λ)+4λ-9(1-λ)=19λ-12=-173,解得λ=13.7.(2018扬州高三考前调研)在△ABC中,AH是底边BC上的高,点G是三角形的重心,若AB=2,AC=4,∠BAH=30°,则(⃗AH+⃗BC)·⃗AG=.答案62解析由AH是底边BC上的高,AB=2,AC=4,∠BAH=30°得AH=√3,BH=1,HC=√13,以点H为坐标原点,BC、AH所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,点G是三角形的重心,则A(0,√3),B(-1,0),H(0,0),C(√13,0),G(√13-13,√33),则(⃗AH+⃗BC)·⃗AG=(√13+1,-√3)·(√13-13,-2√33)=13-13+2=6.8.(2018徐州高三考前模拟检测)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,且AB=4,CD=2,∠BAD=π3,E为BC的中点,若⃗AE·⃗DB=9,则对角线AC的长为.答案2√3解析以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系,设AD=m(m>0),则D(m2,√32m),B(4,0),C(m2+2,√32m),E(m4+3,√34m),⃗AE·⃗DB=(m4+3,√34m)·(4-m2,-√32m)=-12m2-12m+12=9,解得m=2(舍负),则C(3,√3),AC=2√3.9.(2017兴化第一中学高三月考)已知a=(1+cosωx,1),b=(√3,-sinωx)(ω>0),函数f(x)=a·b,函数f(x)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的表达式;(2)设θ∈(0,π2),且f(θ2)=√3+65,求cos(θ+π3)的值.解析(1)f(x)=a·b=√3(1+cosωx)-sinωx=√3-2sin(ωx-π3), 函数f(x)的最小正周期为π,∴2πω=π,解得ω=2,∴f(x)=√3-2sin(2x-π3).3(2)由f(θ2)=√3+65,得sin(θ-π3)=-35, θ∈(0,π2),∴θ-π3∈(-π3,π6),∴cos(θ-π3)=45,cos(θ+π3)=cos[(θ-π3)+2π3]=cos(θ-π3)cos2π3-sin(θ-π3)sin2π3=45×(-12)-(-35)×√32=3√3-410.10.设两个向量e1、e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.解析 e1·e2=|e1||e2|cos60°=2×1×12=1,∴(2te1+7e2)·(e1+te2)=2te12+(2t2+7)e1·e2+7te22=2t2+15t+7.由题意知2t2+15t+7<0,解得-7
