第7讲空间线面关系A级——高考保分练1．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)解析：若m⊥α，α∥β，则m⊥β.故填②④.答案：②④2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长为________．解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E是AD的中点，所以点F是DC的中点．所以EF＝AC＝.答案：3．设α，β为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，给出以下命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，m⊂α，则m∥β；③若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β.则真命题个数为________．解析：①若m⊥α，n∥α，由线面平行性质可得，过n的平面与α交于k，可得n∥k，由m⊥k，知m⊥n，故①正确；②由面面平行的性质可知②正确；③m与n可以平行、相交或异面，故③错误；④α与β可能平行或相交，故④错误．答案：24．设平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于S，若AS＝18，BS＝9，CD＝34，则CS＝________.解析：如图①，由α∥β可知BD∥AC. ＝，即＝，∴SC＝68.如图②，由α∥β知AC∥BD，∴＝＝，即＝，∴SC＝.答案：68或5．已知正三角形ABC的边长为2cm，PA⊥平面ABC，A为垂足，且PA＝2cm，那么点P到BC的距离为________cm.解析：取BC的中点D，连结AD，PD，则BC⊥AD.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，所以BC⊥平面PAD，所以PD⊥BC，则PD的长度即为点P到BC的距离．解△PAD，可得PD＝＝cm.答案：6．(2019·苏锡常镇调研)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，BC＝，点M在棱CC1上，当MD1＋MA取得最小值时，MD1⊥MA，则棱CC1的长为________．解析：把长方形DCC1D1展开到长方形ACC1A1所在平面，如图，当A，M，D1在同一条直线上时，MD1＋MA取得最小值，此时＝＝.令MA＝2x，MD1＝x，CC1＝h，则解得h＝.答案：7．(2019·苏北三市期末)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点．(1)求证：EF∥平面A1BD；(2)若A1B1＝A1C1，求证：平面A1BD⊥平面BB1C1C.证明：(1)因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.因为EF⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，所以EF∥平面A1BD.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，因为A1D⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D.因为A1B1＝A1C1，且D是B1C1的中点，所以A1D⊥B1C1.因为BB1∩B1C1＝B1，B1C1⊂平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，所以A1D⊥平面BB1C1C.因为A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面BB1C1C.8．(2019·宿迁期末)在四棱锥SABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．(1)求证：平面SAC⊥平面SBD；(2)若点M是棱AD的中点，点N在棱SA上，且AN＝NS，求证：SC∥平面BMN.证明：(1)因为SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以SA⊥BD.因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又SA⊂平面SAC，AC⊂平面SAC，且SA∩AC＝A，所以BD⊥平面SAC.因为BD⊂平面SBD，所以平面SAC⊥平面SBD.(2)设AC与BM的交点为E，连结NE.由底面ABCD是菱形，得AD∥BC.所以＝＝＝.又因为AN＝NS，所以＝＝，所以NE∥SC.因为NE⊂平面BMN，SC⊄平面BMN，所以SC∥平面BMN.9．(2019·如皋一模)如图，四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，AD＝2BC，且∠BAD＝∠BPA＝90°，平面APB⊥底面ABCD，点M为PD的中点．(1)求证：CM∥平面PAB；(2)求证：PB⊥PD.证明：(1)取AP的中点H，连结BH，HM，因为H，M分别为AP，DP的中点，所以HM＝AD且HM∥AD.因为AD∥BC且AD＝2BC，所以HM＝BC且HM∥BC，所以四边形BCMH为平行四边形，所以CM∥BH，因为CM⊄平面PAB，BH⊂平面PAB，所以CM∥平面PAB.(2)因为∠BAD＝90°，所以BA⊥AD.因为平面APB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，平面APB∩平面ABCD＝AB，所以AD⊥平面APB.因为PB⊂平面PAB，所以PB⊥AD，因为∠BPA＝90°，所以PB⊥PA，因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以PB⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，所以PB⊥PD.B级——难点突破练1．已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长为2，点M，N分别在侧面ABB1A1和ACC1A1内，BC1与B1C交于点P，则△MNP周长的最小值为____...
