【高考新坐标】2016届高考数学总复习第七章第7节立体几何中的向量方法课后作业[A级基础达标练]一、选择题1．若直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，平面α的法向量为u＝(－2，2，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交[解析]因为直线l的方向向量a＝(1，－1，2)与平面α的法向量u＝(－2，2，－4)共线，故l⊥α.[答案]B2．(2014·课标全国卷Ⅱ)直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.[解析]法一：由于∠BCA＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC＝CA＝CC1，可将三棱柱补成正方体．建立如图(1)所示空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则可得A(0，0，0)，B(2，2，0)，M(1，1，2)，N(0，1，2)，∴BM＝(1，1，2)－(2，2，0)＝(－1，－1，2)，AN＝(0，1，2)．∴cos〈BM，AN〉＝＝＝.法二：如图(2)，取BC的中点D，连结MN，ND，AD，由于MN綊B1C1綊BD，因此有ND綊BM，则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成角．设BC＝2，则BM＝ND＝，AN＝，AD＝，因此cos∠AND＝＝.[答案]C3．如图7713，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上且AM∥平面BDE.则M点的坐标为()图7713A．(1，1，1)B.C.D.[解析] M在EF上，设ME＝x，∴M， A(，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，B(0，，0)，∴ED＝(，0，－1)，EB＝(0，，－1)，AM＝.设平面BDE的法向量n＝(a，b，c)，由得a＝b＝c.故可取一个法向量n＝(1，1，)． n·AM＝0，∴x＝1，∴M.[答案]C4．(2015·聊城质检)在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为()A.B．－C.D．－[解析]取AC中点E，连接BE，则BE⊥AC，如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，则A，D(0，0，1)，则AD＝. 平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，∴BE⊥平面AA1C1C，∴BE＝为平面AA1C1C的一个法向量，∴cos〈AD，BE〉＝－，设AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα＝|cos〈AD，BE〉|＝.[答案]A5．(2015·泰安联考)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°[解析]由条件知CA·AB＝0，AB·BD＝0，CD＝CA＋AB＋BD.∴|CD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA，BD〉＝(2)2.∴cos〈CA，BD〉＝－，〈CA，BD〉＝120°，〈AC，BD〉＝60°.∴二面角的大小为60°.[答案]C二、填空题6．(2015·潍坊检测)如图7714，平行六面体ABCDA1B1C1D1，若ABCD是边长为2的正方形，AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则BD1的长为________．图7714[解析] BD1＝BA＋BC＋BB1，∴|BD1|2＝(BA＋BC＋BB1)2＝9，故BD1＝3.[答案]37．如图7715，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为________．图7715[解析]以A为原点建立空间直角坐标系，如图，A1(0，0，2)，C(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，1，2)，则C1D＝(1，－1，－1)，A1C＝(0，1，－2)，|C1D|＝，|A1C|＝，C1D·A1C＝1，cos〈C1D，A1C〉＝＝，故异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为.[答案]8．(2015·淄博调研)正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．[解析]如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P，则CA＝(2a，0，0)，AP＝，CB＝(a，a，0)，设平面PAC的一个法向量为n，可取n＝(0，1，1)，则cos〈CB，n〉＝＝＝，∴〈CB，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.[答案]30°三、解答题9．(2014·福建高考)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图7716所示．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．图7716[解](1)证明： 平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，A1C1＝(－1，2，0)，A1B＝(0，2，－1)...
