高考数学一轮复习 专题5.1 平面向量的概念及线性运算练习（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

5.1平面向量的概念及线性运算一．向量的有关概念名称定义表示方法注意事项向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量或；模或平面向量是自由向量零向量长度等于0的向量，方向是任意的记作零向量方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量常用表示非零向量的单位向量是平行向量方向相同或相反的非零向量与共线可记为与任一向量平行或共线共线向量平行向量又叫共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量的相反向量为二．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律【套路秘籍】---千里之行始于足下加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．三．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.四．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一概念辨析【例1】判断下列各命题正确的是：(1)单位向量都相等；(2)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关；(3)若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；(4)若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；(5)两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.【答案】（2）（3)【解析】(1)不正确．(2)正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．(3)正确， AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC.又 A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC，且AB与DC方向相同．因此AB＝DC.(4)不正确，当b＝0时，a与c可以不共线．(5)不正确，当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b.【套路总结】1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关．相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量．3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．4．非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．5．向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．6.零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．【举一反三】1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．【答案】③【解析】①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b＝0，则a与c不一定共线；③正确，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．考向二平面向量的线性运算【例2】在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于()A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c(2)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________，y＝______.(3)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO＝xAB＋(1－...