高考数学复习点拨 向量与三角形的重心新人教A版VIP免费

向量与三角形的重心例1已知ABC，，是不共线的三点，G是ABC△内一点，若GAGBGC0�．求证：G是ABC△的重心．证明：如图1所示，因为GAGBGC0�，所以()GAGBGC�．以GB�，GC�为邻边作平行四边形BGCD，则有GDGBGC�，所以GDGA�．又因为在平行四边形BGCD中，BC交GD于点E，所以BEEC�，GEED�．所以AE是ABC△的边BC的中线，且2GAGE�．故G是ABC△的重心．点评：①解此题要联系重心的性质和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．变式引申：已知DEF，，分别为ABC△的边BCACAB，，的中点．求证：ADBECF0�．证明：如图2的所示，2ADACCDADACABCDBDADABBD���，即2ADACAB�．同理2BEBABC�，2CFCACB�．2()ADBECFACABBABCCACB�0．ADBECF�0．点评：该例考查了三角形法则和向量的加法．例2如图3所示，ABC△的重心为GO，为坐标原点，OA�a，�OBb，�OCc，试用abc，，表示�OG．解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点，则�ABba，�ACca，�BCcb．12�AMABBC11()(2)22bacbcba．23�AGAM1(2)3cba．用心爱心专心故OGOAAG�11(2)()33acbaabc．点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上任意一点，则1()4POPAPBPCPD�．证法1：POPAAO�，POPBBO�，POPCCO�，POPDDO�，4POPAPBPCPD�，即1()4POPAPBPCPD�．证法2：1()2POPAPC�，1()2POPBPD�，1()4POPAPBPCPD�．点评：（1）证法1运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P与O重合，则上式变为OAOBOCOD�0．用心爱心专心