课时跟踪训练(四十一)空间几何体的表面积和体积[基础巩固]一、选择题1．如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为8的矩形．则该几何体的表面积是()A．8B．20＋8C．16D．24＋8[解析]由题意可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，其侧棱为4，故其表面积S表＝2×4＋2×4＋2×4＋×2×2×2＝20＋8.[答案]B2．已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为()A.B.C.D.[解析]VB1－ABC1＝VC1－ABB1＝××1×1×＝.[答案]A3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()1A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛[解析]米堆的体积为××π×2×5＝.将π＝3代入上式，得体积为立方尺．从而这堆米约有≈22(斛)．[答案]B4．(2017·河北唐山二模)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为()A．24－πB．24－3πC．24＋πD．24－2π[解析]由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖去右下方球后得到的几何体，该球以顶点为球心，2为半径，则该几何体的表面积为2×2×6－3××π×22＋×4×π×22＝24－π，故选A.[答案]A5．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()2A.＋1B.＋3C.＋1D.＋3[解析]由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V＝×π×3＋××2×1×3＝＋1，故选A.[答案]A6．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都是由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10B．12C．14D．16[解析]由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为×2＝12，故选B.[答案]B二、填空题7．(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．[解析]由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为.设该正方体外接球的半径为R，则2R＝3，R＝，所以这个球的体积为R3＝×＝.[答案]8．下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是________．3[解析]该几何体是一个长方体挖去一半球而得，直观图如图所示，(半)球的半径为1，长方体的长、宽、高分别为2、2、1，∴该几何体的表面积为：S＝16＋×4π×12－π×12＝16＋π.[答案]16＋π9．(2017·山东卷)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．[解析]由三视图可知，该组合体中的长方体的长、宽、高分别为2,1,1，其体积V1＝2×1×1＝2；两个圆柱合起来就是圆柱的一半，圆柱的底面半径r＝1，高h＝1，故其体积V2＝×π×12×1＝.故该几何体的体积V＝V1＋V2＝2＋.4[答案]2＋三、解答题10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．[解]由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，V＝V圆台－V圆锥＝(π·22＋π·52＋)×4－π×22×2＝π.[能力提升]11．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB．64πC．144πD．256π[解析]如图，设点C到平面OAB的距离为h，球O的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△OAB＝R2，要使VO－ABC＝·S△OAB·h最大，则OA，OB，OC应两两垂直，且(VO－ABC)max＝×R2×R＝R3＝36，此时R＝6，所以球O的表面积为S...
