06三角恒等变换与解三角形1.已知cos2α❑√2sin(α-π4)=❑√52,则tanα+1tanα=().A.-18B.-8C.18D.8解析▶因为cos2α❑√2sin(α-π4)=cos2α-sin2αsinα-cosα=-(cosα+sinα)=❑√52,所以sinαcosα=18,而tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα=8,故选D.答案▶D2.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,其中b>a且2asin(A+B)=❑√3c,则角A等于().A.π3B.π3或2π3C.π6D.π6或5π6解析▶由诱导公式可得sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,利用正弦定理可得2sinAsinC=❑√3sinC,解得sinA=❑√32,即A=π3或A=2π3,又b>a,所以A=π3,故选A.答案▶A3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a,b,c成等比数列,且a2-ab=c2-ac,则cosC的值为().A.12B.-12C.❑√32D.-❑√32解析▶由a,b,c成等比数列得b2=ac,代入a2-ab=c2-ac,得a2+b2-c2=ab,则cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12,故选A.答案▶A4.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°,沿A向北偏东30°方向前进100m后到达B处,在B处测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度为.解析▶如图所示,DC⊥平面ABC,AB=100m,∠DBC=30°,∠DAC=45°,∠CAB=60°.设CD=hm,则AC=hm,同理可得BC=❑√3hm.在△ABC中,BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos60°,则(❑√3h)2=h2+1002-2×h×100×12,化为h2+50h-5000=0,解得h=50,因此水柱的高度是50m.答案▶50m能力1▶能熟练进行三角恒等变换和求值【例1】(1)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tanα=1+sinβcosβ,则().A.3α-β=π2B.3α+β=π2C.2α-β=π2D.2α+β=π2(2)已知cos(α+π4)=❑√210,α∈(0,π2),cosβ=13,β∈(0,π),则cos(α-2β)的值为.解析▶(1)由tanα=1+sinβcosβ,得sinαcosα=1+sinβcosβ,即sinαcosβ=cosα+sinβcosα,所以sin(α-β)=cosα.又cosα=sin(π2-α),所以sin(α-β)=sin(π2-α).因为α∈(0,π2),β∈(0,π2),所以-π2<α-β<π2,0<π2-α<π2.所以α-β=π2-α,所以2α-β=π2.(2)因为α∈(0,π2),所以α+π4∈(π4,3π4).因为cos(α+π4)=❑√210,所以sin(α+π4)=7❑√210,所以sinα=sin[(α+π4)-π4]=sin(α+π4)cosπ4-cos(α+π4)sinπ4=7❑√210×❑√22-❑√210×❑√22=35,所以cosα=45.因为cosβ=13,β∈(0,π),所以sinβ=2❑√23,所以sin2β=4❑√29,cos2β=-79,所以cos(α-2β)=cosαcos2β+sinαsin2β=45×(-79)+35×4❑√29=12❑√2-2845.答案▶(1)C(2)12❑√2-2845三角恒等变换中的“四大策略”:(1)常值代换:特别是“1”的代换,如1=sin2θ+cos2θ=tan45°.(2)项的分拆与角的配凑:sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等.(3)降幂与升幂:正用和逆用二倍角公式.(4)弦、切互化:切化弦,弦化切,减少函数种类.已知α∈(π2,π),且sinα=13.(1)求sin2α的值;(2)若sin(α+β)=-35,β∈(0,π2),求sinβ的值.解析▶(1) α∈(π2,π),且sinα=13,∴cosα=-2❑√23,故sin2α=2sinαcosα=-4❑√29.(2) α∈(π2,π),β∈(0,π2),∴α+β∈(π2,3π2).由sin(α+β)=-35得cos(α+β)=-45,故sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=(-35)×(-2❑√23)-(-45)×13=4+6❑√215.能力2▶正弦定理、余弦定理的简单应用【例2】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且❑√3cacosB=tanA+tanB.(1)求角A的大小;(2)设D为AC边上的一点,且BD=5,DC=3,a=7,求c的值.解析▶(1)在△ABC中, ❑√3cacosB=tanA+tanB,∴❑√3sinCsinAcosB=sinAcosA+sinBcosB,即❑√3sinCsinAcosB=sinAcosB+sinBcosAcosAcosB,∴❑√3sinA=1cosA,则tanA=❑√3,∴A=π3.(2) BD=5,DC=3,a=7,由余弦定理可得cos∠BDC=25+9-492×3×5=-12,∴∠BDC=2π3,又A=π3,∴△ABD为等边三角形,∴c=5.在解三角形中,利用已知条件进行化简变形,常用的方法是借助正弦定理和余弦定理进行边角互化,减少变量的数量,在边化角的运算中注意切化弦思想及三角恒等变换的应用.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ba+c=1-sinAsinC+sinB.(1)求角C的大小;(2)若S△ABC=2❑√3,a+b=6,求边c.解析▶(1)ba+c=1-sinAsinC+sinB=sinC+sinB-sinAsinC...
