第4课时二次函数与幂函数一、填空题1．函数y＝ax2＋bx与y＝log||x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是________．解析令ax2＋bx＝0得x＝0或x＝－，由①②抛物线的图象可知<1，∴y＝log||x应为单调减函数，∴①②错．由③选项抛物线的图象可知>1，∴y＝log||x应为单调增函数，∴③错．由④抛物线的图象可知，0<<1，∴y＝log||x应为单调减函数，∴④对．答案④2．已知点在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝________.解析设f(x)＝xm，g(x)＝xn，则由2＝m得m＝－1，由＝(－2)n，得n＝－2，所以f(2)＋g(－1)＝2－1＋(－1)－2＝.答案3．当a＝________时，函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]，值域为[－2,2]．解析f(x)＝(x－a)2＋a－a2.当a＜－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，所以⇒a＝－1(舍去)；当－1≤a≤0时，⇒a＝－1；当0＜a≤1时，⇒a不存在；当a＞1时，f(x)在[－1,1]上为减函数，所以⇒a不存在．综上可得a＝－1.答案－14．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.解析由f(3＋x)＝f(3－x)，知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，应有＝3⇒x1＋x2＝6.答案65．f(x)＝x2＋2ax＋a2＋b，当f(x)在区间(－∞，1]上为减函数时，a的取值范围为________；若x∈R，恒有f(x)≥0，则b的取值范围为________；若f(x)为偶函数，则a＝________.解析f(x)在(－∞，1]上递减，1则x＝－a≥1，即a≤－1；若x∈R，f(x)≥0恒成立，则Δ≤0，故b≥0；若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，故a＝0.答案a≤－1b≥006.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系如图所示，则每辆客车营运________年，使其营运年平均利润最大．解析由题设y＝a(x－6)2＋11，过点(4,7)，得a＝－1.∴y＝－(x－6)2＋11，则每年平均利润为＝－＋12≤－10＋12，当且仅当x＝5时，取“＝”．答案57．已知函数f(x)＝x2＋1的定义域为[a，b](a1，则f(x)>1；②若00时，若f(x1)>f(x2)，则x1>x2；④若0.2故④错．答案①②③二、解答题11．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．解(1)由f(0)＝1得，c＝1，∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，∴∴.因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．12．已知函数f(x)是二次函数，不等式f(x)>0的解集是(0,4)，且f(x)在区间[－1,5]上的最大值是12，求f(x)的解析式．解设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)>0的解集是(0,4)可知f(0)＝f(4)＝0，且二次函数的图象开口向下，对称轴方程为x＝2，再由f(x)在区间[－1,5]上的最大值是12可知f(2)＝12.即解得∴f(x)＝－3x2＋12x.3
