课时提升作业(二十四)函数的最大(小)值与导数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·绵阳高二检测)设函数f(x)=ax3+3bx(a,b为实数,a<0,b>0),当x∈[0,1]时,有f(x)∈[0,1],则b的最大值是()A.B.C.D.【解析】选C.因为f′(x)=3ax2+3b,所以令f′(x)=3ax2+3b=0,可得x=±,①≥1时,f(x)max=f(1)=1,所以b∈,②0<<1,f(x)max=f()=1,f(1)≥0,所以b∈,所以b的最大值是.【补偿训练】(2014·塘沽高二检测)函数y=在区间上的最小值为()A.2B.e2C.D.e【解析】选D.y′=,令y′=0,得x=1,故f(x)min=f(1)=e.2.函数f(x)=lnx-x在区间[0,e]上的最大值为()A.-1B.1-eC.-eD.0【解析】选A.令f′(x)=-1=0,解得x=1∈[0,e],故当x=1时,函数取极大值,也是最大值,f(x)max=f(1)=0-1=-1.3.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a=()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.f′(x)=3x2+2ax+3,由题意x=-3是方程3x2+2ax+3=0的根,故27-6a+3=0,解得a=5.4.(2015·安庆高二检测)已知函数f(x)=-x3+2ax2+3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5,则在1函数f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程是()A.3x-15y+4=0B.15x-3y-2=0C.15x-3y+2=0D.3x-y+1=0【解题指南】首先由导函数的最大值可以求出a值,再求切线方程.【解析】选B.因为f(x)=-x3+2ax2+3x,所以f′(x)=-2x2+4ax+3=-2(x-a)2+2a2+3,因为导数f′(x)的最大值为5,所以2a2+3=5,因为a>0,所以a=1,所以f′(1)=5,f(1)=,所以在函数f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程是y-=5(x-1),即15x-3y-2=0.5.(2015·银川高二检测)已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是()A.-37B.-29C.-5D.以上都不对【解题指南】利用已知的最大值可以求出m值,再求函数的最小值.【解析】选A.因为f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),因此f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,所以当x=0时,f(x)=m最大,所以m=3,从而f(-2)=-37,f(2)=-5.所以最小值为-37.【补偿训练】若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是()A.[1,+∞)B.C.[1,2)D.【解析】选B.因为f(x)的定义域为(0,+∞),又f′(x)=4x-,由f′(x)=0,得x=.根据函数在区间(k-1,k+1)内存在最小值,可得函数在区间内是减函数,在区间内是增函数,即函数f′(x)在区间内小于零,在区间内大于零.2故有解得1≤k<.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2014·湖州高二检测)当x∈[-1,1]时,函数f(x)=的值域是.【解析】f′(x)==,故当-10,故当x=0时,函数取极小值,也是最小值,f(0)=0,又f(-1)=e,f(1)=.故函数的值域为[0,e].答案:[0,e]7.函数f(x)=ax4-4ax2+b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3,最小值为-5.则a=,b=.【解析】因为f′(x)=4ax3-8ax=4ax(x2-2),令f′(x)=0,解得x=0,-,.因为∈[1,2],且当x=时,函数取极小值,故f()=4a-8a+b=-4a+b=-5,又f(1)=-3a+b,f(2)=b,a>0,故f(2)=b=3,故a=2.答案:238.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为.【解析】f′(x)==,当x>时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当-0,f(x)单调递增;当x=时,f(x)==,解得=<1不合题意,所以f(x)max=f(1)==,所以a=-1.答案:-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间.3(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.【解析】(1)f′(x)=-3x2+6x+9.令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(3,+∞).(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)>f(-2).因为在(-1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[-1,2]上单调递增,又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.【补偿训练】已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex在点(0,f(0))处的切线方程是y=-2x+1,其中e是自然对数的底数.(1)求实数a,b的值.(2)求函数f(x)在区间[-2,3]上的值域.【解析】(1)由f(x)=(x2+ax+b)ex,得f′(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex,因为函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是y=-2x+1,所以即解得a=-3,b=1.(2)由(1)知f(x)=(x2-3x+1)ex,f′(x)=...
