第七节双曲线(一)一、双曲线的定义我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为||AF1|－|AF2||＝2a，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做双曲线的焦距．二、双曲线的标准方程当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，其中焦点坐标为F1(c，0)，F2(－c，0)，且c2＝a2＋b2；当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，其中焦点坐标为F1(0，c)，F2(0，－c)，且c2＝a2＋b2.当且仅当双曲线的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准形式．三、双曲线的几何性质方程－＝1－＝1图形范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性关于x轴、y轴及原点对称关于x轴、y轴及原点对称顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－a)，B2(0，a)离心率e＝(e>1)e＝(e>1)渐近线y＝±xy＝±xa，b，c的关系c2＝a2＋b2c2＝a2＋b21．(2013·郑州质检)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝(A)A．8B．6C．4D．2解析：依题意有解得|PF2|＝6，|PF1|＝8，故选A.12．若双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝(A)A.B．2C．3D．6解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，因为双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，故圆心(3，0)到直线y＝±x的距离等于圆的半径r，则r＝＝.故选A.3．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是14＋8.4．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且PF1·PF2＝0，则|PF1＋PF2|＝2．解析：因为F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，所以F1(－，0)，F2(，0)．由题意知△F1PF2为直角三角形，∴|PF1＋PF2|＝2|PO|＝|F1F2|＝2.1．(2013·湖南卷)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．解析：设P点在右支上，m＝|PF1|，n＝|PF2|，则⇒m＝4a，n＝2a，依题意，△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由余弦定理得cos30°＝＝＝，于是可解得e＝＝.2．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．解析：(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.由题设知＝4，化简得L的方程为－y2＝1.(2)由已知可求得过M，F的直线l方程为y＝－2(x－)，将其代入L的方程得15x2－32x＋84＝0，解得x1＝，x2＝，故可求得l与L的交点坐标分别为T1，T2.因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故||MT1|－|FT1||＝|MF|＝2，||MT2|－|FT2||<|MF|＝2.2若P不在直线MF上，在△MFP中有||MP|－|FP||<|MF|＝2.故||MP|－|FP||只在点P位于T1时取得最大值2.1．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的焦距为8，则m＝3．解析：因为在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距为8，所以m＞0，焦点在x轴，所以a2＝m，b2＝m2＋4，所以c2＝m2＋m＋4，又双曲线－＝1的焦距为8，所以：m2＋m＋4＝16，即m2＋m－12＝0，解得m＝3或m＝－4(舍)．2．设点P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，其中F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF2F1＝3，则双曲线的离心率为．解析：因为圆x2＋y2＝a2＋b2的半径r＝＝c，所以F1F2是圆的直径，所以∠F1PF2＝90°.依据双曲线的定义：|PF1|－|PF2|＝2a，又因为在Rt△F1PF2中，tan∠PF2F1＝3，即|PF1|＝3|PF2|，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在直角三角形F1PF2中由(3a)2＋a2＝(2c)2，得e＝＝.课时作业1．(2013·福州质检)设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝(D)A．5B．3C．7D．3或7解析：因为||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF2|＝7或3.故选D.2．过双曲线－＝1左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2(F2为右焦点)的周长是(A)A．28B．22C．14D．12解析： －＝1的两顶点的距离为2a＝8，∴A、B只能在双曲线的左支上，设|AF1|＝m，|BF1|＝n，则|AF2|＝2a＋m，|BF2...
