课时作业13一、选择题1．直线l：kx－y－k＝0与椭圆＋＝1的位置关系是()A．相交B．相离C．相切D．不确定解析：∵kx－y－k＝0，∴y＝k(x－1)，即直线过定点(1,0)，而(1,0)点在＋＝1的内部，故l与椭圆＋＝1相交．答案：A2．[2014·清华附中月考]若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A.(－∞，0)∪(1，＋∞)B.(1,3)∪(3，＋∞)C.(－∞，－3)∪(－3,0)D.(1,3)解析：本题考查直线与椭圆的位置关系．由消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，则解得由＋＝1表示椭圆知，m>0且m≠3.综上可知，m的取值范围是m>1且m≠3，故选B.答案：B3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A(2,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且AC·BC＝0，|OB－OC|＝2|BC－BA|，则其焦距为()A.B.C.D.解析：如下图，a＝2，由AC·BC＝0⇔∠C＝90°，|BC|＝2|AC|，∴|OC|＝|AC|，∴C(1，－1)代入椭圆方程得＋＝1，∴b2＝，又a2＝4，∴c2＝4－＝，∴c＝.∴2c＝.答案：C4．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则OA·OB等于()A．－3B．－C．－或－3D．±解析：不妨设直线l过椭圆的右焦点F(1,0)，则直线l的方程为y＝x－1，由消去y，得3x2－4x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－.1答案：B二、填空题5．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是__________．解析：设AF1＝1，由△ABF2是正三角形知，|AF2|＝2，|F1F2|＝，所以椭圆的离心率e＝＝＝＝.答案：6．若直线y＝2x＋b与椭圆＋y2＝1无公共点，则b的取值范围为________．解析：由得＋(2x＋b)2＝1.整理得17x2＋16bx＋4b2－4＝0.Δ＝(16b)2－4×17(4b2－4)<0，解得b>或b<－.答案：(－∞，－)∪(，＋∞)7．在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点(，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝__________.解析：如右图，切线PA、PB互相垂直，半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故＝a，解得e＝＝.答案：三、解答题8．已知椭圆＋y2＝1，求过点P(，)且被P平分的弦所在直线的方程．解法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为y－＝k(x－)，即y＝kx＋－k.由得(2＋4k2)x2＋4k(1－k)x＋(1－k)2－4＝0，设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝－＝1，解之得k＝－.∴直线方程为2x＋4y－3＝0.解法二：设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由题意知，所求直线的斜率存在，设为k，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.由得y－y＝－(x－x)，∴＝－·＝－，即k＝－，∴直线方程为y－＝－(x－)，2即2x＋4y－3＝0.9．[2014·郑州外国语学校月考]已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点．(1)求AB的中点坐标；(2)求△ABF2的周长与面积．解：(1)由＋＝1，知a＝，b＝，c＝1.∴F1(－1,0)，F2(1,0)，∴l的方程为y＝x＋1，联立消去y得5x2＋6x－3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，x0＝＝－，y0＝＝＝＋1＝(或y0＝x0＋1＝－＋1＝)，∴中点坐标为M(－，)．(2)由题意知，F2到直线AB的距离d＝＝＝，|AB|＝·＝，∴S△ABF2＝|AB|d＝××＝，△ABF2的周长＝4a＝4.34
