第十节变化率与导数、导数的计算☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.了解导数概念的实际背景；2.理解导数的几何意义；3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数。2016，全国卷Ⅱ，16,5分(导数的几何意义)2016，全国卷Ⅲ，15,5分(切线方程)2015，全国卷Ⅰ，21(1)，5分(切线问题)2015，全国卷Ⅱ，12,5分(切线问题)2014，全国卷Ⅱ，8,5分(利用导数几何意义、求参数)1.有关导数的计算较少直接考查，一般出现在解答题中的某一个环节上，作为解题工具；2.导数的几何意义考查较多，有时以客观题形式出现，有时在大题的某一问中出现。微知识小题练自|主|排|查1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim＝lim为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝lim＝lim。(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)。相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)。(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数。2．导数公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝(2)导数的运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；③′＝(g(x)≠0)。(3)复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。微点提醒1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆。2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者。3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别。小|题|快|练一、走进教材1．(选修1－1P73例题改编)在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________，加速度a＝________。【解析】v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8。【答案】－9.8t＋6.5－9.82．(选修1－1P85习题3.2A组T7改编)f(x)＝cosx在点处的切线的倾斜角为______。【解析】f′(x)＝－sinx，切线的斜率k＝f′＝－1，故切线的倾斜角为π。【答案】π二、双基查验1．f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为()A．0B．3C．4D．－【解析】 f(x)＝x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2。∴f′(－1)＝3。故选B。【答案】B2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()【解析】由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C。又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B。故选D。【答案】D3．(2017·盘锦模拟)已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为()A．－2B．2C.D．1【解析】由题知y1′＝，y2′＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，解得x0＝1。故选D。【答案】D4．已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________。【解析】因为f′(x)＝a(1＋lnx)，所以f′(1)＝a＝3。【答案】35．已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________。【解析】y′＝1＋，则曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线斜率为k＝y′＝1＋1＝2，故切线方程为y＝2x－1。因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，联立得ax2＋ax＋2＝0，显然a≠0，所以由Δ＝a2－8a＝0⇒a＝8。【答案】8微考点大课堂...
