第7讲立体几何中的向量方法第1课时1.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．法一：EF＝(0，1，0)，EG＝(1，2，－1)，设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则n＝(1，0，1)为平面EFG的一个法向量，因为PB＝(2，0，－2)，所以PB·n＝0，所以n⊥PB，因为PB平面EFG，所以PB∥平面EFG.法二：PB＝(2，0，－2)，FE＝(0，－1，0)，FG＝(1，1，－1)．设PB＝sFE＋tFG，即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，所以解得s＝t＝2.所以PB＝2FE＋2FG，又因为FE与FG不共线，所以PB，FE与FG共面．因为PB平面EFG，所以PB∥平面EFG.2.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.证明：如图，建立空间直角坐标系Axyz，令AB＝AA1＝4，则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)．(1)取AB中点N，则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，所以DE＝(－2，4，0)，NC＝(－2，4，0)，所以DE＝NC，所以DE∥NC.又NC平面ABC，DE平面ABC，故DE∥平面ABC.(2)因为B1F＝(－2，2，－4)，EF＝(2，－2，－2)，AF＝(2，2，0)，1所以B1F·EF＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，所以B1F⊥EF，即B1F⊥EF.因为B1F·AF＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，所以B1F⊥AF，即B1F⊥AF，又AF∩FE＝F，所以B1F⊥平面AEF.3.如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD.由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，OB，OC，OS分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图．设底面边长为a，则高SO＝a，于是S，D，B，C，OC＝，SD＝，则OC·SD＝0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.(2)棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.理由如下：由已知条件知DS是平面PAC的一个法向量，且DS＝，CS＝，BC＝.设CE＝tCS，则BE＝BC＋CE＝BC＋tCS＝，而BE·DS＝0⇔t＝.即当SE∶EC＝2∶1时，BE⊥DS.而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.4.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.证明：(1)设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)．因为F为CD的中点，所以F.AF＝，BE＝(a，a，a)，BC＝(2a，0，－a)．因为AF＝(BE＋BC)，AF平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)因为AF＝，2CD＝(－a，a，0)，ED＝(0，0，－2a)，所以AF·CD＝0，AF·ED＝0，所以AF⊥CD，AF⊥ED.又CD∩DE＝D，所以AF⊥平面CDE，即AF⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE.1.如图所示，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.证明：(1)以C为坐标原点，分别以CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，因为PC⊥平面ABCD，所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，所以∠PBC＝30°.因为PC＝2，所以BC＝2，PB＝4.所以D(0，1，0)，B(2，0，0)，A(2，4，0)，P(0，0，2)，M，所以DP＝(0，－1，2)，DA＝(2，3，0)，CM＝，令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则即所以令y＝2，得n＝(－，2，1)．因为n·CM＝－×＋2×0＋1×＝0，所以n⊥CM，又CM平面PAD，所以CM∥平面PAD.(2)取AP的中点E，则E(，2，1)，BE＝(－，2，1)．因为PB＝AB，所以BE⊥PA，...
