【高考新坐标】2016届高考数学总复习专题突破练五解析几何问题的求解策略[A级基础达标练]一、选择题1．若直线ax＋by＝1过点M(cosα，sinα)，则()A．a2＋b2≥1B．a2＋b2≤1C.＋≤1D.＋≥1[解析]点M(cosα，sinα)在单位圆上，且点M在直线ax＋by＝1上，∴≤1⇒≥1⇒a2＋b2≥1.[答案]A2．设椭圆＋＝1(m>n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1[解析]依题意＝，得m＝4.则n2＝m2－22＝12，所以所求椭圆方程是＋＝1.[答案]B3．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为()A.B．2C．4D．8[解析]设等轴双曲线C：－＝1. 抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4.∴C的实轴长为4.[答案]C4．已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足|OM|＝1，且OM·PM＝0，则当|PM|取得最小值时的点P到双曲线C的渐近线的距离为()A.B.C．4D．5[解析]由OM·PM＝0，得OM⊥PM，则|OP|2＝|OM|2＋|PM|2＝1＋|PM|2，因此，若|PM|取得最小值，则|OP|有最小值．于是应有点P为双曲线的顶点(－3，0)或(3，0)，由双曲线C：－＝1，知渐近线为4x±3y＝0.∴所求的距离d＝＝.[答案]B5．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.[解析]由题意设P(－c，y0)，将P(－c，y0)代入＋＝1，得＋＝1，则y02＝b2＝b2·＝.∴y0＝或y0＝－(舍去)，∴P，∴kOP＝－. A(a，0)，B(0，b)，∴kAB＝＝－.又 AB∥OP，∴kAB＝kOP，∴－＝－，则b＝c.从而a＝c.所以椭圆的离心率e＝＝＝.[答案]C二、填空题6．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．[解析]由题意A点的坐标为(－a，0)，l的方程为y＝x＋a，∴B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为，代入椭圆方程得a2＝3b2，∴c2＝2b2，∴e＝.[答案]7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．[解析]由条件知双曲线的焦点为(4，0)，所以解得a＝2，b＝2，故双曲线方程为－＝1.[答案]－＝18．如图54所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.图54[解析]建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)．将点A(2，－2)坐标代入x2＝－2py，得p＝1.于是x2＝－2y.当水面下降1m，得D(x0，－3)，(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y得x02＝6，∴x0＝.∴水面宽|CD|＝2m.[答案]2三、解答题9．如图55所示，点F1(－c，0)，F2(c，0)分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝于点Q.图55(1)如果点Q的坐标是(4，4)，求此时椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．[解](1)由条件知，P，故直线PF2的斜率为kPF2＝＝－.因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y＝x－，故Q.由题设知，＝4，2a＝4，解得a＝2，c＝1，b2＝3.故椭圆方程为＋＝1.(2)证明：直线PQ的方程为＝，即y＝x＋a.将上式代入＋＝1得x2＋2cx＋c2＝0，解得x＝－c，y＝.所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．10．(2014·山东高考改编)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程；(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，试判断直线AE是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；否则请说明理由．[解](1)由题意知F.设D(t，0)(t>0)，则FD的中点为.因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋＝，解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．由＝3，解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)由(1)问，知F(1，0)．设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD>0)．因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，由xD>0得xD＝x0＋...
