（浙江专用）高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 第1讲 平面向量的概念及线性运算练习（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

第1讲平面向量的概念及线性运算[基础达标]1．下列各式中不能化简为PQ的是()A．AB＋(PA＋BQ)B．(AB＋PC)＋(BA－QC)C．QC－QP＋CQD．PA＋AB－BQ解析：选D.AB＋(PA＋BQ)＝AB＋BQ＋PA＝PA＋AQ＝PQ；(AB＋PC)＋(BA－QC)＝(AB＋BA)＋(PC－QC)＝PC＋CQ＝PQ；QC－QP＋CQ＝PC＋CQ＝PQ；PA＋AB－BQ＝PB－BQ，显然由PB－BQ得不出PQ，所以不能化简为PQ的式子是D.2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－λa|≥|λ|a解析：选B.对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．3．(2019·浙江省新高考学科基础测试)设点M是线段AB的中点，点C在直线AB外，|AB|＝6，|CA＋CB|＝|CA－CB|，则|CM|＝()A．12B．6C．3D．解析：选C.因为|CA＋CB|＝2|CM|，|CA－CB|＝|BA|，所以2|CM|＝|BA|＝6，所以|CM|＝3，故选C.4．已知a，b是任意的两个向量，则下列关系式中不恒成立的是()A．|a|＋|b|≥|a－b|B．|a·b|≤|a|·|b|C．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2D．(a－b)3＝a3－3a2·b＋3a·b2－b3解析：选D.由三角形的三边关系和向量的几何意义，得|a|＋|b|≥|a－b|，所以A正确；因为|a·b|＝|a||b||cosa，b|，又|cosa，b|≤1，1所以|a·b|≤|a||b|恒成立，B正确；由向量数量积的运算，得(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，C正确；根据排除法，故选D.5．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q，若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即a＝λb，且λ＞0，故qp.所以p是q的充分不必要条件，故选A.6．(2019·温州市普通高中模考)已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若OC＝λOA＋μOB(λ＞0，μ＞0)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(1，]D．(0，)解析：选B.由题意可得OD＝kOC＝kλOA＋kμOB(0＜k＜1)，又A，D，B三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B正确．7．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________(用a，b表示)．解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.答案：b－a－a－b8．若|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值范围是________．解析：BC＝AC－AB，当AB，AC同向时，|BC|＝8－5＝3；当AB，AC反向时，|BC|＝8＋5＝13；当AB，AC不共线时，3＜|BC|＜13.综上可知3≤|BC|≤13.答案：[3，13]9．(2019·温州质检)如图所示，在△ABC中，BO为边AC上的中线，BG＝2GO，设CD∥AG，若AD＝AB＋λAC(λ∈R)，则λ的值为________．2解析：因为BG＝2GO，所以AG＝AB＋AO＝AB＋AC，又CD∥AG，可设CD＝mAG，从而AD＝AC＋CD＝AC＋AB＋AC＝AC＋AB.因为AD＝AB＋λAC，所以＝，λ＝1＋＝.答案：10．(2019·杭州中学高三月考)已知P为△ABC内一点，且5AP－2AB－AC＝0，则△PAC的面积与△ABC的面积之比等于________．解析：因为5AP－2AB－AC＝0，所以AP＝AB＋AC，延长AP交BC于D，则AP＝AB＋AC＝AD，从而可以得到D是BC边的三等分点，且CD＝CB，设点B到边AC的距离为d，则点P到边AC的距离为×d＝d，所以△PAC的面积与△ABC的面积之比为.答案：11．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m，n∈R，求＋的值．解：设OA＝a，OB＝b，则OG＝(a＋b)，PQ＝OQ－OP＝nb－ma，PG＝OG－OP＝(a＋b)－ma＝a＋b.由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ＝λPG，即nb－ma＝λa＋λb，从而消去λ，得＋＝3.12.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.解：AD＝(AB＋AC)＝a＋b.AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.[能力提升]31．设P是△ABC所在平面内的一点...