第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选C.命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．综上，以上3个命题中真命题的个数是2.故选C.2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B.命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．3．(2018·陕西质量检测(一))设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由(a－b)a2＜0可知a2≠0，则一定有a－b＜0，即a＜b；但是a＜b即a－b＜0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2＜0不一定成立，故“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，选A.4．“x>4”是“x2－2x－3>0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.因为x2－2x－3>0，所以该不等式的解集为{x|x<－1或x>3}，所以x>4⇒x2－2x－3>0.但x2－2x－3>0x>4，所以“x>4”是“x2－2x－3>0”的充分而不必要条件．5．有下列命题：①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是()A．①②③B．②③④C．①③④D．①④解析：选C.①的逆命题为“若x＞0且y＞0，则x＋y＞0”为真，故否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集为R，则m≥1”．因为当m＝0时，解集不是R，所以应有即m＞1.所以③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．6．(2018·石家庄模拟)“log2(2x－3)＜1”是“4x＞8”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由log2(2x－3)＜1⇒0＜2x－3＜2⇒＜x＜，4x＞8⇒2x＞3⇒x＞，所以“log2(2x－3)＜1”是“4x＞8”的充分不必要条件，故选A.7．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不一定成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B.8．命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥4B．a＞4C．a≥1D．a＞1解析：选B.要使“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a＞4是命题为真的充分不必要条件．9．(2017·高考浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的()A．充分不必要条件1B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5，故选C.10．(2018·惠州第三次调研)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.设f(x)＝x2，y＝|f(x)|是偶函数，但是不能推出y＝f(x)的图象关于原点对称．反之，若y＝f(x)的图象关于原点对称，则y＝f(x)是奇函数，这时y＝|f(x)|是偶函数，故选C.11．(2018·贵阳检测)设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，则“x＝2”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.依题意，注意到a∥b的充要条件是1×3＝(x－1)(x＋1)，即x＝±2.因此，由x＝2可得a∥b，“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的...
