投影法证空间直线与平面平行在证明空间直线与平面平行时，除利用面面平行外，还有一种重要的方法就是利用线线平行．即欲证直线a∥，可证明平面内有一条直线b与平面外的直线a平行．为此就要在平面内找到（或作出）直线b．但从哪个角度考虑才能较快地作出辅助线b呢？以下我们来探讨一下．先看下图，若a∥，在直线a上取两点AB，，想象从空间一点P发出的光线通过AB，两点，照到平面上，投影点分别为EF，，连结EF，则直线EF是直线a在平面上的投影．显然有EFAB∥（如图1，图2所示）．这种形象化的思维，可以将大家的眼光一下子引向解题的正途．即要证AB∥，只需要象这样找到AB的投影EF，证明ABEF∥即可．其中，从一点看AB，得到投影EF的方法称为中心投影法．以一束平行光照射AB，得到投影EF的方法称为平行投影法．以下我们来看一下这两种方法的应用．例1如图4，三棱锥PABC中，EF，分别是PABPBC，△△的重心．求证：EF，与平面ABC的距离相等．分析：本题即证EF∥平面ABC．由于从P点看EF，两点在平面ABC内的投影分别是ABBC，的中点，故宜于用中心投影法作辅助线．证明：如图5，连结EF，连结并延长PE，交AB于D，连结并延长PF交BC于G，连结DG．因为21PEPFEDFG，故PDG△中EFDG∥．从而EF∥平面ABC，故EF，与平面ABC的距离相等．例2如图6，ABCD，为异面直线，EF，分别是ACBD，的中点，过EF作平面AB∥，求证：CD∥平面．分析：从CD下方向上看CD，缺少一个观察点，要从CD上方的点看CD，可从点B透过平面看，当然也可以从A点看．如图7，连结BC交平面于点G，连结FGEG，，易证ABEG∥，从而由CEEA，得BGCG．又BFFD，得FGCD∥．用心爱心专心从点B透过平面看CD，是观察点与直线分布在平面两侧的情况，也是投影法适合的一种类型．以下看一个平行投影法的例子．例3如图8，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，EF，分别是ABPC，的中点，求证：EF∥平面PAD．分析：从B看EF，光线在平面PAD上的投影点不好找．中心投影法较难解决问题．现考虑平行投影法：如图9，从EF，两点分别引平行线与平面PAD相交．如图9，在平面PCD内，作FGCD∥，连结AG，则FGCDAE∥∥，1122FGCDABAE，故四边形AGFE是平行四边形．所以EFAG∥，EF∥平面PAD．下面这个例子，是了解了这两种方法后，从两个角度分别考虑，得出了两种方法，实现了一题多解．例4如图10．有公共边AB的两个全等矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内．PQ，分别是对角线AEBD，上的点，且APDQ．求证：PQ∥平面BCE．分析一：（中心投影法）如图11，连结并延长AQ交直线BC于G，连结EG，则EG在平面CBE内．由ADBC∥，知DQAQQBQC．又DQAP，DBAE，故DQQPQBPE，所以AQAPQCPE．因此PQGE∥，又PQ不在平面CBE内，所以PQ∥平面BCE．分析二：（平行投影法）如图12，在矩形ABEF中作PHAB∥，交EB于H，在矩形ABCD中作QGAB∥，交BC于G，同样易证PQHG∥，所以PQ∥平面BCE．用心爱心专心用心爱心专心
