高考数学复习点拨 前n项和公式的变式及应用新人教A版VIP免费

前n项和公式的变式及应用教材中给出的等差数列前n项和公式为：11()(1)22nnnaannSnad．在具体的解题过程中，如果我们能适时的应用公式的变化形式，则往往能减少运算量，简化解题过程．本文给出该公式的若干变化形式，并举例说明其应用．变式1：2122nddSnan．该式由1(1)2nnnSnad变形即得．它表明等差数列的前n项和nS是关于n的二次函数，从而把问题转化为二次函数问题来解决．例1已知等差数列na的通项公式为224nan，求其前n项和nS的最大值．解：由题意易得1222ad，．由公式求得22235292324nSnnn．因为nN，则由二次函数的性质可知，当11n或12n时，nS取得最大值，为132．变式2：2()nSanbnabR，.在变式1中，令122ddaba，即得该式．例2设na是等差数列，2121mnSmmnaSn，，，求此数列的通项公式na．解：由22mnSambmSanbn，，将2222mnSambmmSanbnn化简，可得()0bmnnm．0mnb，，即2nSan．由111Sa，得1a．2nSn，121(2)nnnaSSnnn*N，≥．由于11a也满足21nan，故21()nann*N．变式3：1(1)2nSdann．用心爱心专心由变式1两边同除以n，即得该式．该式说明对任意nN，所有的点nSnn，都在同一条直线上，从而对()mnmnN，有：2nmSSdnmnm（常数），即数列nSn是一个等差数列．例3在等差数列na中，若()mnSSmn，求mnS的值．解：由题意知，mnmnSSSmnmnmnmn，，，，，三点在同一条直线上，从而有()nmmnmSSSSnmmnmnmmnm，化简得0mnmnmnSSSmn．故0mnS．变式4：2121nnSan．由1212nnaaa及1()2nnnaaS，有12121(21)()(21)2(21)22nnnnnaanaSna·，所以2121nnSan．该式给出的是数列中的项na与21nS之间的关系．常运用此式解决有关等差数列的和与项之间的有关问题．例4已知数列na是公差不为零的等差数列，且2222mnSmmSnn，求mnaa．解：由变式4，有2212212121(21)2(21)232121(21)2(21)23mmnnaSnnmmmamSmnnn··，即2323mnaman．用心爱心专心