第4节垂直关系【选题明细表】知识点、方法题号与垂直有关命题的判断3,4,11直线与平面垂直1,13,14平面与平面垂直2,5,10综合问题6,7,8,9,10,12,13,14基础对点练(时间:30分钟)1.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(B)(A)平行(B)垂直(C)相交不垂直(D)不确定解析:因为直线和三角形的两边同时垂直,所以这条直线垂直于三角形所在平面,故其与三角形的第三边垂直.2.在空间四边形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点,下列判断正确的是(D)(A)平面ABD⊥平面BDC(B)平面ABC⊥平面ABD(C)平面ABC⊥平面ADC(D)平面ABC⊥平面BED解析:因为AB=BC且AE=EC,E为AC中点,所以AC⊥BE,AC⊥DE.所以AC⊥平面BED.所以平面ABC⊥平面BED.3.(2015东北三校第二次联考)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列说法正确的是(B)(A)若l⊥m,mα,则l⊥α(B)若l⊥α,l∥m,则m⊥α(C)若l∥α,mα,则l∥m(D)若l∥α,m∥α,则l∥m解析:A项中l与α的位置关系不确定,不正确;B正确;C项,l与m可能平行,也可能异面,不正确;D项,l与m可能平行,也可能相交或异面,不正确.4.已知直线m,l,平面α,β,且m⊥α,lβ,给出下列命题:①若α∥β,则m⊥l;②若α⊥β,则m∥l;③若m⊥l,则α⊥β;④若m∥l,则α⊥β.其中正确的命题的个数是(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:命题①,若α∥β,又m⊥α,所以m⊥β,又lβ,所以m⊥l,正确;命题②,l与m可能相交,也可能异面,错误;命题③,α与β可能平行,错误;命题④,因为m∥l,又m⊥α,所以α⊥β,正确.5.如图所示,在立体图形DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是(C)(A)平面ABC⊥平面ABD(B)平面ABD⊥平面BDC(C)平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE(D)平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,而BE∩DE=E,所以AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ADC,所以平面ADC⊥平面BDE.故选C.6.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,nβ,n⊥l,直线m⊥α,则直线m与n的位置关系为.解析:因为α⊥β,α∩β=l,nβ,n⊥l,所以n⊥α,又因m⊥α,所以m∥n.答案:平行7.如图所示,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于.解析:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥QD.又PQ⊥QD,所以QD⊥平面PAQ,所以AQ⊥QD,即Q在以AD为直径的圆上,当半圆与BC相切时,点Q只有一个,故BC=2AB=2.答案:28.α,β是两个不同的平面,m,n是α,β之外的两条不同直线,给出以下四个论断:①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:(填一个即可).解析:若①③④为条件,由①③得m∥β或mβ,当mβ时,又④m⊥α,得α⊥β,即②成立;当m∥β时,又④m⊥α,也可得α⊥β,即②成立,所以若①③④,则②为正确的命题.答案:若①③④,则②9.(2015唐山一模)如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,∠ACC1=∠CC1B1=60°,AC=2.(1)求证:AB1⊥CC1;(2)若AB1=,求四棱锥ABB1C1C的体积.(1)证明:连接AC1,CB1,则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形,取CC1中点O,连接OA,OB1,则CC1⊥OA,CC1⊥OB1,则CC1⊥平面OAB1,则CC1⊥AB1.(2)解:由(1)知,OA=OB1=,又AB1=,所以OA⊥OB1.又OA⊥CC1,OB1∩CC1=O,所以OA⊥平面BB1C1C.=BC×BB1sin60°=2,故=×OA=2.10.(2015东北三省三校二模)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面△ABC为等边三角形,AB=4,AA1=5,点M是BB1的中点.(1)求证:平面A1MC⊥平面AA1C1C;(2)求点A到平面A1MC的距离.(1)证明:连接AC1交A1C于E,连接ME,MA,MC1.因为直三棱柱ABCA1B1C1,点M是BB1中点,△ABC为等边三角形,所以MA1=MA=MC1=MC=.因为点E是AC1,A1C的中点,所以ME⊥AC1且ME⊥A1C,从而ME⊥平面AA1C1C.因为ME平面A1MC,所以平面A1MC⊥平面AA1C1C.(2)解:过点A作AH⊥A1C于点H,由(1)知平面A1MC⊥平面AA1C1C,又平面A1MC∩平面AA1C1C=A1C,而AH平面AA1C1C,所以AH即为点A到平面A1MC的距离.在△A1AC中,∠A1AC=90°,A1A=5,AC=4,所以A1C=,所以AH==.即点A到平面A1MC的距离为.能力提升练(时间:15分钟)11.(2014高考辽宁卷)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是(B)(A)若m∥α,n...
