第53讲曲线与方程[解密考纲]求曲线的轨迹方程，经常通过定义法或直接法，在解答题的第(1)问中出现．一、选择题1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是(B)A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线解析设P(x，y)，则＝2，整理得x2＋y2－4x＝0，又D2＋E2－4F＝16>0，所以动点P的轨迹是圆．2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(B)A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1解析根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝，①又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a2＋b2＝9，②根据①②可知a2＝4，b2＝5，故选B．3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(D)A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0解析设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得Q点的轨迹方程为2x－y＋5＝0.4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(D)A．－＝1B．＋＝1C．－＝1D．＋＝1解析 M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.5．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则点P的轨迹方程是(A)A．x2＋3y2＝1(x>0，y>0)B．x2－3y2＝1(x>0，y>0)C．3x2－y2＝1(x>0，y>0)D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)解析设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由BP＝2PA，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x>0，b＝3y>0，点Q(－x，y)，故由OQ·AB＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入ax＋by＝1得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝11(x>0，y>0)．6．已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为(B)A．4B．3C．2D．1解析 e是方程2x2－5x＋2＝0的根，∴e＝2或e＝，mx2＋4y2＝4m可化为＋＝1，当它表示焦点在x轴上的椭圆时，有＝，∴m＝3；当它表示焦点在y轴上的椭圆时，有＝，∴m＝；当它表示焦点在x轴上的双曲线时，可化为－＝1，有＝2，∴m＝－12，∴满足条件的圆锥曲线有3个，故选B．二、填空题7．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是__－＝1(x>3)__.解析如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足OC＝OA＋t(OB－OA)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是__2x－y－2＝0__.解析设C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＋t(OB－OA)＝(1＋t,2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.9．P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足OQ＝PF1＋PF2，则动点Q的轨迹方程是＋＝1.解析作P关于O的对称点M，连接F1M，F2M，则四边形F1PF2M为平行四边形，所以PF1＋PF2＝PM＝2PO＝－2OP.又OQ＝PF1＋PF2，所以OP＝－OQ，设Q(x，y)，则OP＝，即点P坐标为，又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1.三、解答题10．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x－y－2＝0相切．(1)求圆的标准方程；(2)设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于点N，若动点Q满足OQ＝mOA＋(1－m)ON(其中m为2非零常数)，试求动点Q的轨迹方程C2.解析(1)依题意圆的半径为圆心(0,0)到直线l1的距离＝2，故圆C1的方程为x2＋y2＝4.(2)设动点Q(x，y)，A(x0，y0)． AN⊥x轴交于点N，∴N(x0,0)，由题意，得(x，y)＝m(x0，y0)＋(1－m)·(x0,0)，∴即将A，代入x2＋y2＝4，得＋＝1.即动点Q的轨迹方程为＋＝1.11．(2018·河北唐山统考)已知动点P到直线l：x＝－1的距离等于它到圆C：x2＋y2－4x＋1＝0的切线长(P到切点的距离)．记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过圆心C作...
