第3讲导数的综合应用(B)(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号导数与不等式1,2,4导数与函数零点31
(2018·广西三市第二次调研)设函数f(x)=x2+ax-lnx(a∈R)
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)若对任意a∈(3,4)及任意x1,x2∈[1,2],恒有+ln2>|f(x1)-f(x2)|成立,求实数m的取值范围
解:(1)函数的定义域为(0,+∞),当a=1时,f(x)=x-lnx,f′(x)=1-=
当0-+ln2,因为a∈(3,4),所以m>,由30lnx0,所以(x)在(1,+∞)上单调递增,(x)>(1)=1>0,p′(x)>0,所以p(x)在(1,+∞)上单调递增,所以p(x)>p(1)=2,所以>,令h(x)=,则h′(x)=,因为x>1,所以1-exh(x),即(x+1)(x+)f(x)>2(1+)
已知函数f(x)=a(x-1)2+lnx,a∈R
(1)当a=2时,求函数y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程;(2)当a=-1时,令函数g(x)=f(x)+lnx-2x+1+m,若函数g(x)在区间[,e]上有两个零点,求实数m的取值范围
解:(1)当a=2时,f(x)=2(x-1)2+lnx=2x2-4x+lnx+2
当x=1时,f(1)=0,所以点P(1,f(1))为P(1,0),又f′(x)=4x-4+,因此k=f′(1)=1,因此所求切线方程为y-0=1×(x-1)即y=x-1
(2)当a=-1时,g(x)=2lnx-x2+m,则g′(x)=-2x=
因为x∈[,e],所以当g′(x)=0时,x=1,且当
