第七章立体几何7.8立体几何中的向量方法课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．(2014·高考广东卷)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()A．(－1,1,0)B．(1，－1,0)C．(0，－1,1)D．(－1,0,1)解析：各选项给出的向量的模都是，|a|＝.对于选项A，设b＝(－1,1,0)，则cos〈a，b〉＝＝＝－.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.对于选项B，设b＝(1，－1,0)，则cos〈a，b〉＝＝＝.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝60°，正确．对于选项C，设b＝(0，－1,1)，则cos〈a，b〉＝＝＝－.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.对于选项D，设b＝(－1,0,1)，则cos〈a，b〉＝＝＝－1.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝180°.故选B.答案：B2．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A．2B.C.D．1解析：连接AC交BD于O，连结OE(图略)，由题意得AC1∥OE，∴AC1∥平面BED，直线AC1到平面BED的距离等于点A到平面BED的距离，也等于点C到平面BED的距离，作CH⊥OE于H，则CH＝OE＝1为所求，故选D.答案：D3．如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F、G分别是线段AE、BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为()A.B．－C.D．－解析：如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F、G分别是线段AE、BC的中点．以C为原来建立空间直角坐标系C－xyz(图略)，A(0,2,0)，B(2,0,0)，D(0,0,2)，G(1,0,0)，F(0,2,1)，AD＝(0，－2,2)，GF＝(－1,2,1)，∴|AD|＝2，|GF|＝，AD·GF＝－2，∴cos〈AD，GF〉＝＝－.∴直线AD与GF所成角的余弦值为.答案：A4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________．解析：建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，BC1＝(－1,0,2)，AE＝(－1,2,1)，∴cos〈BC1，AE〉＝＝.答案：5.若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量n＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.解析：AB＝，AC＝，由得所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．答案：2∶3∶(－4)6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．解析：连结D1M，则D1M为A1M在平面DCC1D1上的射影，在正方形DCC1D1中， M、N分别是CD、CC1的中点，∴D1M⊥DN，由三垂线定理得A1M⊥DN.即异面直线A1M与DN所成的角为90°.答案：90°7．(2015·高考湖南卷)如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A＝6，且A1A⊥底面ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上．(1)若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；(2)若PQ∥平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．解：由题设知，AA1，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B1(3,0,6)，D(0,6,0)，D1(0,3,6)，Q(6，m,0)，其中m＝BQ,0≤m≤6.(1)证明：若P是DD1的中点，则P，PQ＝.又AB1＝(3,0,6)，于是AB1·PQ＝18－18＝0，所以AB1⊥PQ，即AB1⊥PQ.(2)由题设知，DQ＝(6，m－6,0)，DD1＝(0，－3,6)是平面PQD内的两个不共线向量．设n1＝(x，y，z)是平面PQD的一个法向量，则即取y＝6，得n1＝(6－m,6,3)．又平面AQD的一个法向量是n2＝(0,0,1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝＝.而二面角PQDA的余弦值为，因此＝，解得m＝4或m＝8(舍去)，此时Q(6,4,0)．设DP＝λDD1(0<λ≤1)，而DD1＝(0，－3,6)．由此得点P(0,6－3λ，6λ),所以PQ＝(6,3λ－2，－6λ)．因为PQ∥平面ABB1A1，且平面ABB1A1的一个法向量是n3＝(0,1,0)．所以PQ·n3＝0，即3λ－2＝0，亦即λ＝，从而P(0,4,4)．于是，将四面体ADPQ视为以△ADQ为底面的三棱锥PADQ，则其高h＝4，故四面体ADPQ的体积V＝S△ADQ·h＝××6×6×4＝24.[B级能力突破]1．(2014·高考四川卷)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是(...
