课时3定点、定值、探索性问题题型一定点问题例1已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足PM＝λ1MQ，PN＝λ2NQ.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点.解(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，所以a2＝3.所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)，由PM＝λ1MQ知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1.同理由PN＝λ2NQ知λ2＝－1. λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②且有y1＋y2＝，y1y2＝，③③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，得l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点.思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.INCLUDEPICTURE"E:\\杨绘绘\\2016\\一轮\\数学\\苏教\\文\\word\\跟踪训练1.TIF"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"E:\\杨绘绘\\2016\\一轮\\数学\\苏教\\文\\word\\跟踪训练1.TIF"\*MERGEFORMATINET(2015·四川)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.INCLUDEPICTURE"E:\\杨绘绘\\2016\\一轮\\数学\\苏教\\文\\word\\SXT37.TIF"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"E:\\杨绘绘\\2016\\一轮\\数学\\苏教\\文\\word\\SXT37.TIF"\*MERGEFORMATINET(1)求椭圆E的方程；(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)由已知，点(，1)在椭圆E上，1因此解得a＝2，b＝，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，即QC＝QD，所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0).当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为(0，)，(0，－)，由＝，有＝，解得y0＝1或y0＝2，所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0,2)，下面证明：对任意直线l，均有＝，当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立，当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，INCLUDEPICTURE"E:\\杨绘绘\\2016\\一轮\\数学\\苏教\\文\\word\\SXT210.TIF"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"E:\\杨绘绘\\2016\\一轮\\数学\\苏教\\文\\word\\SXT210.TIF"\*MERGEFORMATINET所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，因此＋＝＝2k，易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)，又kQA＝＝＝k－，kQB′＝＝＝－k＋＝k－，所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线，所以＝＝＝，故存在与P不同的定点Q(0,2)，使得＝恒成立.题型二定值问题例2已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，其左，右顶点分别为A1，A2，B为短轴的一个端点，△A1BA2的面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：x＝2与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E，F两点，求证：DE·DF为定值.(1)解由已知，可得解得a＝2，b＝.故所求椭圆方程为＋＝1.(2)证明由题意可得A1(－2,0)，A2(2,0).2设P(x0，y0)，由题意可得－2
