第25课利用导数研究函数的极值或最值（1）1．函数的极值（1）判断函数极值的方法①如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值．②如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．（2）若在处取得极值，则；反之，若，则不一定取得极值。例如：若，则，而却不是的极值（想一想？）（3）求可导函数极值的步骤:①求的定义域②求导数③求导数的根④列表，判断在方程的根的左右值的符号，确定在这个根处是取极大值还是取极小值．【例1】已知函数(为自然对数的底数)．（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（2）求函数的极值．【解析】（1）由，得.又曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得.（2），①当时，，为上的增函数，所以函数无极值．②当时，令，得，.，；，，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值．综上所述：当时，函数无极值；当时，在处取得极小值，无极大值．【变式】（2013全国高考）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）讨论的单调性，并求的极大值.【解析】（1）∵，∵，，∴，∴，.（2）由（1）知，∴，令，解得或.当时，；当时，；∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.∴时，函数取得极大值，极大值为.2．函数的最值：求函数在上的最大值与最小值的步骤：①求出在内的极值．②再将的各极值与、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【例2】已知函数，曲线在点处的切线为，若时，有极值．（1）求，，的值；（2）求)在上的最大值和最小值．【解】（1）由，得.当时，切线的斜率为3，可得①当时，，则，可得②由①②，解得，.由于切点的横坐标为1，所以.所以.所以.（2）由（1），可得，.令，解之，得，.当变化时，，的取值及变化情况如下表所示：x(－3，－2)－2(－2，)(，1)f′(x)＋0－0＋f(x)↗13↘↗所以在上的极大值为，极小值为又，所以在上的最大值为，最小值为【变式】（2012汕头质检）已知函数．（1）求的最小值；（2）若对所有都有，求实数的取值范围．【解析】（1）的定义域为，．令，解得；令，解得．∴在单调递减，在单调递增．∴当时，取得最小值．（2）∵对所有都有，∴对于恒成立，∴对于恒成立．令，，则而．所以当时，，∴是上的增函数，∴的最小值是，即的取值范围是．第25课利用导数研究函数的极值或最值的课后作业（1）1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图，则函数在开区间内有极值点的个数是（）A．个B．个C．个D．个【答案】C2．函数在处取到极值，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，由，得．3．设函数，则（）A．为的极大值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极小值点【答案】D【解析】∵，令，则，当时，，当时，，∴为的极小值点，故选D．4．函数的最小值是（）A．B．C．D．不存在【答案】C【解析】∵，∴，；，．∴函数在处取得极小值，∴函数的最小值为．5.(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求与的值；（2）讨论的单调性，并求的极值．【解析】（1）.由已知得，故，.从而，（2）由（1）知，，令，得或.当时，；当时，.当变化时，，的取值及变化情况如下表所示：x－2f′(x)＋0－0＋f(x)↗↘↗故在，上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减.当时，函数取得极大值，极大值为当时，函数取得极小值，极小值为6.已知函数(其中常数),是奇函数.（１）求的表达式;（２）讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值.解：（1）由题意得，又因为是奇函数所以，即对任意的实数有从而有即，因此的解析式为（2）由（1）得，所以，令解得当或时，，即在区间上是减函数；当，，即在区间上是增函数由前面讨论知，在区间上的最大值与最小值只能在处取得，而，，因此在区间上的最大值为，最小值为7.一动圆圆内切，与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程【解析】，，，，，，设动圆半径为，则有由②+①，得，而所以圆心的轨迹以、为焦点，以长轴长为的椭圆设其方程为，则，，，，所以动圆圆心的轨迹方程为
