第25课利用导数研究函数的极值或最值（1）1．函数的极值（1）判断函数极值的方法①如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值．②如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．（2）若在处取得极值，则；反之，若，则不一定取得极值
例如：若，则，而却不是的极值（想一想
）（3）求可导函数极值的步骤:①求的定义域②求导数③求导数的根④列表，判断在方程的根的左右值的符号，确定在这个根处是取极大值还是取极小值．【例1】已知函数(为自然对数的底数)．（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（2）求函数的极值．【解析】（1）由，得
又曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得
（2），①当时，，为上的增函数，所以函数无极值．②当时，令，得，
，；，，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值．综上所述：当时，函数无极值；当时，在处取得极小值，无极大值．【变式】（2013全国高考）已知函数，曲线在点处的切线方程为
（1）求的值；（2）讨论的单调性，并求的极大值
【解析】（1）∵，∵，，∴，∴，
（2）由（1）知，∴，令，解得或
当时，；当时，；∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
∴时，函数取得极大值，极大值为
2．函数的最值：求函数在上的最大值与最小值的步骤：①求出在内的极值．②再将的各极值与、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【例2】已知函数，曲线在点处的切线为，若时，有极值．（1）求，，的值；（2）求)在上的最大值和最小值．【解】（1）由，得
当时，切线的斜率为3，可得①当时，，则，可得②由①②，解得，
由于切点的横坐标为1，所以
（2）由（1），可得，
令，解之，得，
当变化时，，的取值及变化情况如下表所示：x(－3，－2)－2(－2，)(，1)f′(x)＋0－0＋f(x)↗13↘↗所以在上的极大值为，极小值为又，所以在上的最大值
