【创新设计】2016届高考数学一轮复习探究课6圆锥曲线问题中的热点题型理INCLUDEPICTURE"../热点训练.tif"\*MERGEFORMAT(建议用时：80分钟)1．椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为原点)．(1)求证：＋等于定值；(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．(1)证明由消去y，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，① 直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，即4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)＞0⇒a2b2(a2＋b2－1)＞0， a＞b＞0，∴a2＋b2＞1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1、x2是方程①的两实根．∴x1＋x2＝，x1x2＝.②由OP⊥OQ得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝1－x1，y2＝1－x2，得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.③式②代入式③化简得a2＋b2＝2a2b2.④∴＋＝2.(2)解利用(1)的结论，将a表示为e的函数由e＝⇒b2＝a2－a2e2，代入式④，得2－e2－2a2(1－e2)＝0.∴a2＝＝＋. ≤e≤，∴≤a2≤. a＞0，∴≤a≤.∴长轴长的取值范围是[，]．2．已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F为圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为－1.(1)求椭圆方程；(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M，证明：MA·MB为定值．(1)解化圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，1则圆心为(－1，0)，半径r＝1，所以椭圆的半焦距c＝1.又椭圆上的点到点F的距离最小值为－1，所以a－c＝－1，即a＝，则b2＝a2－c2＝1，故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明①当直线l与x轴垂直时，l的方程为x＝－1.可求得A，B.此时，MA·MB＝·＝－.②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.因为MA·MB＝·＝＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋＋k(x1＋1)·k(x2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋k2＋＝(1＋k2)·＋＋k2＋＝＋＝－2＋＝－.所以，综上得MA·MB为定值，且定值为－.3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．解(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1，2＝.从而|PQ|＝|x1－x2|＝.又点O到直线PQ的距离d＝.所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.2因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.4.如图，已知点E(m，0)(m＞0)为抛物线y2＝4x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点．(1)若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面积的最小值；(2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．(1)解当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点， k1k2＝－1，∴AB⊥CD.设直线AB的方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y2－4y－4k1＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4. M，∴M，同理，点N(2k＋1，－2k1)，∴S△EMN＝|EM|·|EN|＝·＝2≥2＝4，当且仅当k＝，即k1＝±1时，△EMN的面积取得最小值4.(2)证明设直线AB的方程为y＝k1(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y2－4y－4k1m＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4m， M，∴M，同理，点N，∴kMN＝＝k1k2.∴直线MN的方程为y－＝k1k2，即y＝k1k2(x－m)＋2，∴直线MN恒过定点(m，2)．5．(2015·福建质量检查)在平面直角坐标系xOy中，椭圆Г：＋＝1(a＞b＞0)过点(2，0)，焦距为2.(1)求椭圆Г的方程；(2)设斜率为k的直线l过点C(－1，0)且交椭圆Г于A，B两点，试探究椭圆Г上是否存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3解(1)由已知得a＝2，c＝，因为a2＝b2＋c2，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆Г的方程为＋y2＝1.(2)依题意得，直线l：y＝k(x＋1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设椭圆Г上存在点P(x0，y0)使得四边形OAPB为平行四边形，则由得(1＋4k2...
