第二章函数、导数及其应用2.11导数在研究函数中的应用练习理[A组·基础达标练]1．函数f(x)＝x4－4x3＋4x2的极值点是()A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝0，x＝1和x＝2答案D解析f′(x)＝4x3－12x2＋8x＝4x(x2－3x＋2)＝4x(x－1)(x－2)，则结合列表可得f(x)的极值点为x＝0，x＝1和x＝2.2．[2015·郑州一检]已知定义在R上的函数f(x)满足f(－3)＝f(5)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，且导函数y＝f′(x)的图象如图所示．则不等式f(x)<1的解集是()A．(－3,0)B．(－3,5)C．(0,5)D．(－∞，－3)∪(5，＋∞)答案B解析依题意得，当x>0时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x<0时，f′(x)<0，f(x)是减函数．又f(－3)＝f(5)＝1，因此不等式f(x)<1的解集是(－3,5)，选B.3．[2016·云南师大附中月考]若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1,4]上单调递减，则实数t的取值范围是()A.B．(－∞，3]C.D．[3，＋∞)答案C解析f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于f(x)在区间[1,4]上单调递减，则有f′(x)≤0在[1,4]上恒成立，即3x2－2tx＋3≤0，即t≥在[1,4]上恒成立，因为y＝在[1,4]上单调递增，所以t≥＝，故选C.4．[2013·湖北高考]已知a为常数，函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点x1，x2(x10，f(x2)>－B．f(x1)<0，f(x2)<－C．f(x1)>0，f(x2)<－D．f(x1)<0，f(x2)>－答案D解析f′(x)＝lnx－2ax＋1，依题意知f′(x)＝0有两个不等实根x1，x2.即曲线y1＝1＋lnx与y2＝2ax有两个不同交点，如图．1由直线y＝x是曲线y＝1＋lnx的切线，可知：0<2a<1，且00，当x>x2时，f′(x)<0，∴f(x2)>f(1)＝－a>－，故选D.5．[2015·沈阳一模]若定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式f(x)>＋1(e为自然对数的底数)的解集为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)∪(3，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(3，＋∞)答案A解析由f(x)>＋1得，exf(x)>3＋ex，构造函数F(x)＝exf(x)－ex－3，对F(x)求导得F′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]．由f(x)＋f′(x)>1，ex>0，可知F′(x)>0，即F(x)在R上单调递增，又因为F(0)＝e0f(0)－e0－3＝f(0)－4＝0，所以F(x)>0的解集为(0，＋∞)，所以选A.6．[2013·浙江高考]已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值答案C解析当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝xex－1，f′(1)≠0，故A，B错；当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x2－1)ex－2x＋2＝(x－1)[(x＋1)ex－2]，故f′(x)＝0有一根为x1＝1，另一根x2∈(0,1)．当x∈(x2,1)时，f′(x)<0，f(x)递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)递增，∴f(x)在x＝1处取得极小值，故选C.7．[2016·东北八校月考]已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．答案4解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，∴∴⇒f′(x)＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.8．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．答案(0,1)∪(2,3)解析由题意知f′(x)＝－x＋4－＝＝－，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，2则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1
