配餐作业(七十六)不等式证明的基本方法(时间：40分钟)1．(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc。证明(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2。因为a，b都是正数，所以a＋b>0。又因为a≠b，所以(a－b)2>0。于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2。(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc。①同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c。②c2(a2＋b2)≥2abc2。③①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)。由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，因此≥abc。2．(2016·安徽皖北联考)设函数f(x)＝|x＋2|＋|x－2|，x∈R，不等式f(x)≤6的解集为M。(1)求M；(2)当a，b∈M时，证明：3|a＋b|≤|ab＋9|。解析(1)|x＋2|＋|x－2|≤6等价于或或解得－3≤x≤3。故M＝[－3,3]。(2)证明：当a，b∈M时，即－3≤a≤3，－3≤b≤3时，要证3|a＋b|≤|ab＋9|，即证9(a＋b)2≤(ab＋9)2。而9(a＋b)2－(ab＋9)2＝9a2＋9b2－a2b2－81＝(b2－9)(9－a2)≤0，故3|a＋b|≤|ab＋9|。答案(1)[－3,3](2)见解析3．(2017·赣州模拟)设a、b为正实数，且＋＝2。(1)求a2＋b2的最小值；(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值。解析(1)由2＝＋≥2得ab≥。当且仅当a＝b＝时取等号。故a2＋b2≥2ab≥1，当a＝b＝时取等号。所以a2＋b2的最小值是1。(2)由(a－b)2≥4(ab)3得2≥4ab。即2－≥4ab，从而ab＋≤2。又ab＋≥2，所以ab＋＝2，又a，b为正实数，所以ab＝1。答案(1)1(2)14．(2016·湖北八校联考)已知函数f(x)＝的定义域为R。(1)求实数m的取值范围；(2)若m的最大值为n，当正数a，b满足＋＝n时，求4a＋7b的最小值。解析(1)∵函数f(x)的定义域为R，且|x＋2|＋|x－4|≥|(x＋2)－(x－4)|＝6，∴m≤6。(2)由(1)知n＝6，利用柯西不等式求得，4a＋7b＝(4a＋7b)·＝[(a＋5b)＋(3a＋2b)]≥，当且仅当a＝，b＝时取等号，∴4a＋7b的最小值为。答案(1)(－∞，6](2)(时间：20分钟)1．(2016·福建质检)已知函数f(x)＝|x＋1|。(1)求不等式f(x)<|2x＋1|－1的解集M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(a)－f(－b)。解析(1)①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1<－2x－2，解得x<－1，此时原不等式的解是x<－1。②当－1
1，此时原不等式的解是x>1。综上，M＝{x|x<－1或x>1}。(2)证明：因为f(ab)＝|ab＋1|＝|(ab＋b)＋(1－b)|≥|ab＋b|－|1－b|＝|b||a＋1|－|1－b|，又a，b∈M，所以|b|>1，|a＋1|>0。所以f(ab)>|a＋1|－|1－b|，即f(ab)>f(a)－f(－b)。答案(1){x|x<－1或x>1}(2)见解析2．(2016·安徽江南十校联考)已知函数f(x)＝|x|－|2x－1|，记f(x)>－1的解集为M。(1)求M；(2)已知a∈M，比较a2－a＋1与的大小。解析(1)f(x)＝|x|－|2x－1|＝由f(x)>－1，得或或解得00，所以a2－a＋1>，综上所述：当0。答案(1){x|0
