考点集训(二十五)第25讲三角函数模型及应用1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋φ)＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为A．5B．6C．8D．102．已知函数f(x)＝sinπx和函数g(x)＝cosπx在区间[0，2]上的图象交于A，B两点，则△OAB的面积是A.B.C.D.3．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为(－1，2)，点C位于第一象限，∠AOC＝α.若|BC|＝，则sincos＋cos2－＝A．－B．－C.D.4．如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD的各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A、B、C、D四点共圆，则AC的长为________km.5．设常数a使方程sinx＋cosx＝a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝__________．6．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是____________．7．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？8．已知函数f(x)＝Asin(其中x∈R，A>0，ω>0)的最大值为2，最小正周期为8.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求cos∠POQ的值．9．已知函数f(x)＝axsinx＋cosx，且f(x)在x＝处的切线斜率为.(1)求a的值，并讨论f(x)在[－π，π]上的单调性；(2)设函数g(x)＝ln(mx＋1)＋，x≥0，其中m>0，若对任意的x1∈[0，＋∞)总存在x2∈[0，]，使得g(x1)≥f(x2)成立，求m的取值范围．答案题号1234第25讲三角函数模型及应用【考点集训】1．C2.A3.D4.75.6．(－，＋)7．【解析】(1)在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝，从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)．因为0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理＝，得BC＝×sinA＝×＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．8．【解析】(1)∵f(x)的最大值为2，且A>0，∴A＝2.∵f(x)的最小正周期为8，∴f(x)＝2sin.(2)解法一：∵f(2)＝2sin＝2cos＝，f(4)＝2sin＝－2sin＝－，∴P(2，)，Q(4，－)．∴|OP|＝，|PQ|＝2，|OQ|＝3.∴cos∠POQ＝＝＝.解法二：∵f(2)＝2sin＝2cos＝，f(4)＝2sin＝－2sin＝－，∴P(2，)，Q(4，－)．∴OP＝(2，)，OQ＝(4，－)．∴cos∠POQ＝cosOP，OQ＝＝＝.解法三：∵f(2)＝2sin＝2cos＝，f(4)＝2sin＝－2sin＝－，∴P(2，)，Q(4，－)．作PP1⊥x轴，QQ1⊥x轴，垂足分别为P1，Q1，∴|OP|＝，|OP1|＝2，|PP1|＝，|OQ|＝3，|OQ|2＝4，|QQ1|＝.设∠POP1＝α，∠QOQ1＝β，则sinα＝，cosα＝，sinβ＝，cosβ＝.∴cos∠POQ＝cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝.9．【解析】(1)f′(x)＝asinx＋axcosx－sinx＝(a－1)sinx＋axcosx，f′＝(a－1)·＋·a·＝，∴a＝1，∴f′(x)＝xcosx.∴f′(x)>0⇒－π0)①当m≥2时，≥0，∴g′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，即g(x)在[0，＋∞)上单调递增，又g(0)＝1，所以g(x)≥1在x∈[0，＋∞)上恒成立，即m≥2时成立．②当0
