专题20不等式选讲【命题热点突破一】含绝对值的不等式的解法例1、【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲已知函数.（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；（II）求不等式的解集．【答案】（I）见解析（II）【解析】⑴如图所示：⑵,当,,解得或,当,,解得或或当,,解得或,或综上,或或,,解集为【变式探究】已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x＋1|.(1)当a＝1时，解不等式f(x)<3；(2)若f(x)的最小值为1，求a的值．【特别提醒】解含有绝对值的不等式的基本解法是分段去绝对值后，转化为几个不等式组的解，最后求并集得出原不等式的解集．【变式探究】已知函数f(x)＝2|x＋2|－|x－a|(a∈R)．(1)当a＝4时，求不等式f(x)≤0的解集；(2)当a>－2时，若函数f(x)的图像与x轴所围成的封闭图形的面积不超过54，求a的最大值．解：(1)当a＝4时，f(x)≤0，即2|x＋2|－|x－4|≤0，即2|x＋2|≤|x－4|，两边平方得4x2＋16x＋16≤x2－8x＋16，即x2＋8x≤0，解得－8≤x≤0，即不等式f(x)≤0的解集为[－8，0]．(或者分段去绝对值求解)(2)当a>－2时，f(x)＝令f(x)＝0，解得x1＝－4－a，x2＝，f(x)的图像与x轴的交点为A(－4－a，0)，B(，0)，f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－2)＝－(a＋2)．记C(－2，－(a＋2))．f(x)的图像与x轴围成以A，B，C为顶点的三角形，其面积为×[－(－4－a)]×|－(a＋2)|＝，根据已知得≤54，解得－11≤a≤7，又a>－2，所以－2
cd，则＋>＋；(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．证明：(1)(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(＋)2>(＋)2，因此＋>＋.【特别提醒】证明不等式的基本方法有综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．不等式的性质和重要不等式是证明其他不等式的主要工具，要特别注意柯西不等式的应用．【变式探究】(1)已知a，b都是正实数，求证：＋≥2－2.(2)已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，求a的取值范围．解：(1)证明：方法一：(代数换元法)设a＋2b＝x，a＋b＝y，则a＝2y－x，b＝x－y，且x，y为正实数．＋＝＋＝＋－2≥2－2，当且仅当x＝y时取等号．方法二：(配凑法)＋＝＋1＋＋1－2＝＋－2≥2－2，当且仅当a＋2b＝(a＋b)时取等号．(2)由柯西不等式得(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由条件可得5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，即a的取值范围是[1，2]．【命题热点突破三】绝对值不等式与不等式证明的综合例3、【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲已知函数，为不等式的解集．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：当时，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】（I）当时，由得解得；当时，；当时，由得解得.所以的解集.（II）由（I）知，当时，，从而，因此【变式探究】已知函数f(x)＝的定义域为R.(1)求实数m的取值范围；(2)若m的最大值为n，当正数a，b满足＋＝n时，求7a＋4b的最小值．解：(1)因为该函数的定义域为R，所以|x＋1|＋|x－3|－m≥0恒成立．设函数g(x)＝|x＋1|＋|x－3|，则m不大于函数g(x)的最小值，又|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，即g(x)的最小值为4，所以m≤4.【特别提醒】使用绝对值三角不等式求含有两个绝对值符号的函数的最值时，注意利用恒等变换的方法创造使用重要不等式(均值不等式、柯西不等式等)的条件．【变式探究】已知函数f(x)＝|x|－2|x－3|.(1)求不等式f(x)≥－10的解集；(2)记f(x)的最大值为m，且a，b，c为正实数，求证：当a＋b＋c＝m时，ab＋bc＋ca≤m≤a2＋b2＋c2.解：(1)f(x)＝|x|－2|x－3|＝当x≤0时，x－6≥－10，∴－4≤x≤0；当0
