几种常用的数学思想数列是高中数学的重要内容，其涉及的基础知识、数学思想方法、对高等数学的学习起着重要作用，因而成为高考久考不衰的内容．下面通过实例介绍几种在等差数列中常用的思想方法．一、整体思想有些等差数列问题，分开求解运算复杂且解题思路不明，若通过对问题的整体结构进行分析，常可简化解题过程，减少运算量．例1一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为3227∶，求公差d．解：由题意知3541623219227SSSSSS奇偶奇奇偶偶6305SSdd偶奇．评析：若分别求1a和d计算很繁琐，此时将SS奇偶，整体处理，则可以繁为简．二、方程思想用方程思想处理等差数列问题，就是将原问题转化为确定参数的问题，而这些参数的确定又需通过对方程（组）的研究来完成．例2是否存在这样的等差数列na，使它的首项为1，公差不为零，且其前3n项中，前n项的和与后2n项的和的比值对于任意自然数n都等于常数？若存在，求出数列na的通项公式及该常数；若不存在，说明理由．解：若存在这样的等差数列na，其公差为d，前n项的和记为nS，则其后2n项的和为3nnSS．由题意，记3nnnSSS（为常数），将其变形得3(1)nnSS．①将2(1)2nnSnd和332(31)2nnSnd代入①，化简整理得(18)24(21)0dnd．②用心爱心专心要使②成为恒等式的充要条件是(18)024(21)0dd，，即21.8d，故存在这样的等差数列na，其通项公式为21nan，常数18．评析：此类“存在性”问题，通常是运用方程思想将原问题转化为对参数的求解问题．三、函数思想数列是特殊的函数，所以可用函数观点把数列中的数量关系表示出来加以研究，这种利用函数思想合理转化的手段是解决等差数列问题的重要策略．例3已知在等差数列na中，23344nnSS，，求这个数列的前3n项的和3nS．解：由于()nSfnn是关于n的一次函数，则点344332323nSnnnnnn，，，，，共线．由斜率相等得333344332332nnSSnnnnnnnn，解得333nS．所以该数列前3n项的和为33．评析：在等差数列na中，其前n项和公式nS可以变形为122nSddnan，所以nSn是n的一次函数，且点nSnn，均在直线122ddyxa上．因此，在解等差数列问题时，若能把问题转化为一次函数来研究，就很方便快捷．四、数形结合思想数形结合的思想是将问题的抽象的数量关系与直观的空间图形结合起来考查，即是把抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的一种重要的数学方法，它具有直观性、灵活性、形象性等特点．数形结合贵在结合，只有把数与形完整的结合，才能达到事半功倍的效果．例4若na是等差数列，首项12003200420032004000aaaaa，，，则使前n项和0nS成立的最大自然数n是（）Ａ．4005Ｂ．4006Ｃ．4007Ｄ．4008解析：12003200420032004000aaaaa，，，2003200400aa，，用心爱心专心2003S为nS中的最大值．nS是关于n的二次函数，其图象如图所示．2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小．40072在对称轴的右侧．根据图象的对称性可得4006在图象中零点B的左侧，4007，4008都在B点右侧，使0nS成立的最大的自然数是4006．故选（Ｂ）．用心爱心专心
