课时作业8一、选择题1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使>2解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．答案：B2．[2014·湖南师大附中月考]命题“∃x∈R，x2>3”不可以表述为()A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任选一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x∈R，使得x2>3解析：本题主要考查特称命题．“∃”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同，但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确，故选C.答案：C3．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0，则实数a的取值范围是()A．a<1B．a≤1C．－1
0时，必需Δ＝4－4a2>0，解得－10；②∀x∈{1，－1，0},2x＋1>0；③∃x0∈N，使x≤x0；④∃x0∈N*，使x0为29的约数．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，成以④为真命题．故选C.答案：C二、填空题15．下列命题，是全称命题的是__________；是特称命题的是__________．①正方形的四条边相等；②有些等腰三角形是正三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称命题，②④是特称命题．答案：①③②④6．若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．解析：由题意知，00，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列四个命题中假命题的序号是________．①∃x∈R，f(x)≤f(x0)；②∃x∈R，f(x)≥f(x0)；③∀x∈R，f(x)≤f(x0)；④∀x∈R，f(x)≥f(x0)．解析：由题意：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．答案：③三、解答题8．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：(1)所有的对数函数都是单调函数；(2)对某些实数x，有2x＋1>0；(3)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(4)∃x0∈Q，x＝3.解：(1)命题中含有全称量词“所有的”，因此是全称命题，且是真命题．(2)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题，且是真命题．(3)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称命题．把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22都是偶数，因此，该命题是真命题．(4)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是特称命题．由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．9．若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．解：法一：由题意，∀x∈[－1，＋∞)．令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，可转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立．又f(x)＝(x－a)2＋2－a2，∴∀x∈[－1，＋∞)，f(x)min＝因为f(x)的最小值f(x)min≥a，∴或⇒－1≤a≤1或－3≤a<－1，得a∈[－3,1]．法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0.令f(x)＝x2－2ax＋2－a，所以全称命题转化为∀x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥0成立．2所以Δ≤0或即－2≤a≤1或－3≤a<－2.所以－3≤a≤1.综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．34
