考点39轨迹与轨迹方程【考纲要求】正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、相关点法、参数法等【命题规律】轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.【典型高考试题变式】（一）求点的轨迹方程例1.【2017新课标卷】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线上，且．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【分析】（1）设出点P的坐标，利用得到点P与点M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为；（2）利用可得坐标之间的关系：，结合（1）中的结论整理可得，即，据此即可得出结论．（2）由题意知．设，则，．由得，又由（1）知，故．所以，即．又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F．【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．【变式1】【2016新课标卷】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（1）若在线段上，是的中点，证明；（2）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【解析】由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为.【变式2】在平面直角坐标系中，已知A1(－，0)，A2(，0)，P(x，y)，M(x,1)，N(x，－2)，若实数λ使得λ2·＝·(O为坐标原点)．求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型．【解析】＝(x,1)，＝(x，－2)，＝(x＋，y)，＝(x－，y)． λ2·＝·，∴(x2－2)λ2＝x2－2＋y2，整理得(1－λ2)x2＋y2＝2(1－λ2)．①当λ＝±1时，方程为y＝0，轨迹为一条直线；②当λ＝0时，方程为x2＋y2＝2，轨迹为圆；③当λ∈(－1,0)∪(0,1)时，方程为＋＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为－＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线．（二）求点的轨迹例2.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线ABC运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是()【答案】D【解析】当P沿AB运动时，x＝1，设P′(x′，y′)，则(0≤y≤1)，∴y′＝1－(0≤x′≤2,0≤y′≤1)．当P沿BC运动时，y＝1，则(0≤x≤1)，∴y′＝－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，由此可知P′的轨迹如D所示，故选D.【名师点津】轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．【变式1】已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(0，－1)，(0，1)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线．【数学思想】①数形结合思想．②分类讨论思想．③转化与化归思想.【温馨提示】区分“求轨迹”与“求轨迹方程”的不同.一般来说，若遇“求轨迹方程”，求出方程就可以了；若是“求轨迹”，求出方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型，有时候，问题仅要求指出轨迹的形状，如果应用“定义法”求解，可不求轨迹方程．【典例试题演练】1.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1【答案】D【解析】设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.2.已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的...
