第13练数列的综合问题[明晰考情]1
命题角度：考查等差数列、等比数列的判定与证明；以an，Sn的关系为切入点，考查数列的通项、前n项和等；数列和不等式的综合应用
题目难度：中档难度或偏难．考点一等差数列、等比数列的判定与证明方法技巧判断等差(比)数列的常用方法(1)定义法：若an＋1－an＝d，d为常数，则{an}为等差(比)数列．(2)中项公式法．(3)通项公式法．1．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列
并说明理由．(1)证明由题设知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ
(2)解由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1
由(1)知，a3＝λ＋1
令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4
故an＋2－an＝4，由此可得数列{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；数列{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．2．已知数列{an}满足a1＝2，且an＋1＝2an＋2n＋1，n∈N*
(1)设bn＝，证明：{bn}为等差数列，并求数列{bn}的通项公式；(2)在(1)的条件下，求数列{an}的前n项和Sn
解(1)把an＝2nbn代入到an＋1＝2an＋2n＋1，得2n＋1bn＋1＝2n＋1bn＋2n＋1，两边同除以2n＋1，得bn＋1＝bn＋1，1即bn＋1－bn＝1，∴{bn}为等差数列，首项b1＝＝1，公差为1，∴bn＝n(n∈N*)．(2)由bn＝n＝，得an＝n×2n，∴Sn＝1×2
