课时作业21数学归纳法的应用知识点一用数学归纳法证明整除问题1.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的个数是()①假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立；②假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2时命题也成立；③假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当n＝2k时命题也成立；④假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当n＝2k＋1时命题也成立．A．1B．2C．3D．4答案B解析因为n为正奇数，所以步骤(2)应为：假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2时命题也成立；也可为：假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当n＝2k＋1时命题也成立．故②④正确，选B.2．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是()A．6＋6·7kB．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1)D．3(2＋7k)答案D解析(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，3(2＋7n)能被9整除．那么当k＝n＋1时，3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，当k＝n＋1时，3(2＋7n＋1)也能被9整除．根据(1)和(2)，可知对任何k∈N*,3(2＋7k)均能被9整除．3．用数学归纳法证明“n∈N*,34n＋2＋52n＋1一定能被14整除”时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________．答案81×(34k＋2＋52k＋1)－56×52k＋1解析上一步是假设n＝k时，34k＋2＋52k＋1能被14整除，所以当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×(34k＋2＋52k＋1)－56×52k＋1也能被14整除.知识点二归纳—猜想—证明4.设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)，若f(n)能被m(m∈N*)整除，则m的最大值为()A．2B．4C．8D．16答案C解析f(1)＝8，f(2)＝32＝8×4，f(3)＝144＝8×18.猜想m的最大值为8.证明：①当n＝1时，由f(1)＝8知命题成立．②假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即f(k)＝5k＋2×3k－1＋1能被8整除．那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝5k＋1＋2×3(k＋1)－1＋1＝5×5k＋6×3k－1＋1＝(5k＋2×3k－1＋1)＋4(5k＋3k－1)＝f(k)＋4(5k＋3k－1)．这里，5k,3k－1都是奇数，二者的和为偶数，从而4(5k＋3k－1)能被8整除，又f(k)能被8整除，故f(k＋1)能被8整除．即当n＝k＋1时命题也成立．根据①和②，可知命题对任何n∈N*都成立．5．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，观察上述结果，可推测出一般结论()A．f(2n)＞B．f(n2)≥C．f(2n)≥D．以上都不对答案C1解析f(2)＝，f(4)＝f(22)＞，f(8)＝f(23)＞，f(16)＝f(24)＞，f(32)＝f(25)＞，所以f(2n)≥.故选C.6．设函数y＝f(x)，对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(4)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式并用数学归纳法证明．解(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0.(2)由f(1)＝1，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4；f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9；f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16.(3)由(2)可猜想f(n)＝n2(n∈N*)．用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，f(1)＝1＝12显然成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，故当n＝k＋1时，猜想也成立．由①②可得，对一切n∈N*都有f(n)＝n2成立．1．用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n∈N*.解(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，则当n＝k＋1时，42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)．∴42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除，∴当n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)知，当n∈N*时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．2．平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2部分．证明(1)当n＝1时，n2－n＋2＝2，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即k个圆把平面分成k2－k＋2部分．则当n＝k＋1时，这k＋1个圆...
