考查角度4抛物线的标准方程与几何性质分类透析一抛物线的定义与应用例1在平面直角坐标系xOy中,设点F(12,0),直线l:x=-12,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l,则动点Q的轨迹方程为.解析由题意知,点R是线段FP的中点,且RQ⊥FP,∴RQ是线段FP的垂直平分线. |PQ|是点Q到直线l的距离,又点Q在线段FP的垂直平分线上,∴|PQ|=|QF|.结合抛物线的定义,可知动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2=2x.答案y2=2x方法技巧结合图形,借助垂直平分线的性质进行适当的转化,得到该动点满足抛物线轨迹的条件,从而确定其轨迹方程,需要注意限定条件的应用.分类透析二抛物线的标准方程例2已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则抛物线的方程为().A.y2=4xB.y2=-4xC.x2=4yD.x2=-4y解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知抛物线的焦点坐标为F(p2,0),所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-p2,即x=y+p2,将其代入抛物线方程得y2-2py-p2=0,所以y1+y22=p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,故选A.答案A方法技巧确定抛物线的标准方程时,可以借助抛物线的几何性质,也可以利用直线与抛物线的位置关系进行求解.分类透析三抛物线的几何性质与应用例3如图,AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线l作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则1|FA|+1|FB|的值为().A.p2B.pC.2pD.2p解析当直线AB的斜率不存在,即与x轴垂直时,|FA|=|FB|=p,∴1|FA|+1|FB|=1p+1p=2p.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-p2),代入y2=2px中,得(kx-kp2)2=2px,即k2x2-p(k2+2)x+k2p24=0.设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=p(k2+2)k2,xAxB=p24. |FA|=xA+p2,|FB|=xB+p2,∴|FA|+|FB|=xA+xB+p,∴|FA|·|FB|=(xA+p2)(xB+p2)=xAxB+p2(xA+xB)+p24=p2(xA+xB+p).∴|FA|+|FB|=|FA|·|FB|·2p,即1|FA|+1|FB|=2p,选C.答案C方法技巧该题给出了抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质,解题时,不可忽视AB⊥x轴的情况.例4设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上的三点,若⃗FA+⃗FB+⃗FC=0,则|⃗FA|+|⃗FB|+|⃗FC|=.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由题意知,F(1,0),p=2.因为⃗FA+⃗FB+⃗FC=0,所以(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,即x1+x2+x3=3,所以|⃗FA|+|⃗FB|+|⃗FC|=x1+x2+x3+32p=6.答案6方法技巧对于抛物线和平面向量相结合的题目,可以借助平面向量的坐标运算求解,需要注意平面向量的有关运算性质的运用.1.(2018年全国Ⅰ卷,理8改编)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为1的直线与C交于M,N两点,若⃗FM·⃗FN=4,则p=.解析由题意得直线的方程为y=x+2,设点M(x1,y1),N(x2,y2),则联立方程组{y=x+2,y2=2px,消去y并整理,得x2+(4-2p)x+4=0,则x1x2=4,x1+x2=2p-4.因为⃗FM=(x1-p2,y1),⃗FN=(x2-p2,y2),所以⃗FM·⃗FN=(x1-p2,y1)·(x2-p2,y2)=(x1-p2)·(x2-p2)+y1y2=2x1x2+(2-p2)(x1+x2)+p24+4=4,解得p=8(其中p=0舍去),故p的值为8.答案82.(2017年全国Ⅰ卷,理10改编)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F作互相垂直的两条直线AB,CD与抛物线分别相交于点A,B以及C,D,若1|AF|+1|BF|=1,则四边形ACBD的面积取得最小值时,直线AB方程为().A.y=±(x-1)B.y=x-1C.y=1-xD.y=2x-1解析由抛物线的性质可知1|AF|+1|BF|=2p,又1|AF|+1|BF|=1,∴p=2,即y2=4x.设直线AB的斜率为k(k≠0),则直线CD的斜率为-1k.∴直线AB的方程为y=k(x-1),联立{y=k(x-1),y2=4x,消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.从而xA+xB=2+4k2,xAxB=1.由弦长公式得|AB|=4+4k2,以-1k换k得|CD|=4+4k2,故四边形ACBD的面积为12|AB|·|CD|=12(4+4k2)·(4+4k2)=8(2+k2+1k2)≥32(当k2=1时取等号),即面积的最小值为32,此时直线AB的方程为y=±(x-1).答案A3.(2018年全国Ⅲ卷,理16改编)已知点M(0,2)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若⃗MA·⃗MB=4,则k=.解析抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),当直线斜率不存在时,易知A(1,2),B(1,-2),则⃗MA·⃗MB=1,不合题意.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组{y2=4x,y=k(x-1),整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+...
