大题规范练(二)“17题～19题”＋“二选一”46分练(时间：45分钟分值：46分)解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知A，B，C，D为同一平面上的四个点，且满足AB＝2，BC＝CD＝DA＝1，设∠BAD＝θ，△ABD的面积为S，△BCD的面积为T.(1)当θ＝60°时，求T的值；(2)当S＝T时，求cosθ的值.【导学号：04024217】解：(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosθ＝22＋12－2×2×1×＝3.在△BCD中，由余弦定理得cos∠BCD＝＝＝－.因为∠BCD∈(0°，180°)，所以∠BCD＝120°，所以T＝BC·CDsin∠BCD＝×1×1×＝.(2)因为BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosθ＝5－4cosθ，所以cos∠BCD＝＝.易得S＝AD·ABsin∠BAD＝sinθ，T＝BC·CDsin∠BCD＝sin∠BCD.因为S＝T，所以sinθ＝sin∠BCD.所以4sin2θ＝sin2∠BCD＝1－cos2∠BCD＝1－2，所以cosθ＝.18.某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1,2,3,4,5的五个小球，小球除编号不同外，其余均相同．活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取小球的编号为3，则获得奖金100元；若抽取小球的编号为偶数，则获得奖金50元；若抽取的小球是其余编号，则不中奖．现某顾客有放回地抽奖两次．(1)求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；(2)求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率.【导学号：04024218】解：(1)该顾客有放回地抽奖两次，其结果的所有情况如下表：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)两次都没有中奖的情况有(1,1)，(1,5)，(5,1)，(5,5)，共4种，所以两次都没有中奖的概率为.(2)两次抽奖获得奖金之和为100元的情况有：①第一次获奖100元，第二次没有中奖，其结果有(3,1)，(3,5)，故其概率P1＝；②两次均获奖50元，其结果有(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)，故其概率P2＝；③第一次没有中奖，第二次获奖100元，其结果有(1,3)，(5,3)，故其概率P3＝.所以所求概率P＝P1＋P2＋P3＝.19．如图1所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，点E是线段BD的中点，点F是线段PD上的动点．图1(1)求证：CE⊥BF；(2)若AB＝2，PD＝3，当三棱锥PBCF的体积等于时，试判断点F在线段PD上的位置，并说明理由.【导学号：04024219】解：(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，且CE⊂平面ABCD，所以PD⊥CE.又因为底面ABCD是正方形，且点E是线段BD的中点，所以CE⊥BD.因为BD∩PD＝D，所以CE⊥平面PBD，而BF⊂平面PBD，所以CE⊥BF.(2)点F为线段PD上靠近D点的三等分点．理由如下：由(1)可知，CE⊥平面PBF.又因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD.设PF＝x.由AB＝2得BD＝2，CE＝，所以V三棱锥PBCF＝V三棱锥CBPF＝××PF×BD×CE＝×2×x＝.由已知得＝，所以x＝2.因为PD＝3，所以点F为线段PD上靠近D点的三等分点．(请在第22、23题中选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分)22．【选修4－4：坐标系与参数方程】极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sin，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＝a(a＞0)，射线θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－，θ＝＋φ分别与曲线C1交于点A，B，C，D(均异于极点O)．(1)若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并求曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)求|OA|·|OC|＋|OB|·|OD|的值.【导学号：04024220】解：(1)由ρ＝2sin得ρ2＝2ρsin，由互化公式得x2＋y2＝2x＋2y，即曲线C1的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.由互化公式得曲线C2的直角坐标方程为y＝a.因为曲线C1关于曲线C2对称，所以a＝1，所以曲线C2的直角坐标方程为y＝1.(2)易知|OA|＝2sin，|OB|＝2sin＝2cosφ，|OC|＝2sinφ，|OD|＝2sin＝2cos，于是可得|OA|·|OC|＋|OB|·|OD|＝4.23．【选修4－5：不等式选讲】设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a＞0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值.【导学号：04024221】解：(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2，由此可得x≥3或x≤－1，故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0得，|x－a|＋3x≤0，此不等式可化为或即或因为a>0，所以原不等式的解集为，由题意可得－＝－1，所以a＝2.
