第32题三角函数的值域与最值问题I．题源探究·黄金母题例1．已知．①求它的递减区间；②求它的最大值和最小值．【解析】①令，解得，即函数的单调区间为．②由题意得，．精彩解读【试题来源】人教版A版必修4第147页第9题．【母题评析】本题综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质，是历年来高考的一个常考点．【思路方法】灵活选择三角公式化为形式或，再讨论相关性质．II．考场精彩·真题回放例2．（2017课标II）函数（）的最大值是．【答案】1【解析】试题分析：化简三角函数的解析式：，【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性、对称性、单调性、零点等性质．【考试方向】这类试题可以是以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等．【难点中心】注意本题解法中用到的两个结论:①的单调区间长度是半个周期；②若由自变量的范围：可得：，当时，函数取得最大值1．【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．例3．（2017山东理16）设函数，其中．已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）得最小值．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到的图象关于直线对称，则或．由题设知及可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而．根据得到，进一步求最小值．试题解析：（Ⅰ） ，∴由题设知，∴，．故，，又，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴． ，∴，当，即时，取得最小值．例4．（2017江苏16）已知向量（1）若a∥b，求x的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．【答案】（1）；（2）时，取得最大值，为3；时，取得最小值，为．【解析】（1） ，，a∥b，∴，又，∴， ，∴．（2）． ，∴，从而．于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值．例5．（2016高考新课标1）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为()（A）11（B）9（C）7（D）5【答案】B【解析】为的零点，为图象的对称轴，，即，，又在单调，，即，由此的最大值为9．故选B．III．理论基础·解题原理考点三角函数的最值与值域有如下几种类型：（1）一次型：，值域分别为；（2）二次型：等；（3）分式型：等．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解．若为新定义题，则难度加大．【技能方法】（1）二次型可化为区间上的二次函数来求值域；二次型可先用倍角公式、降幂扩角公式及辅助角公式化为一次型来求解；（2）分式型可以用或的有界性求值域，或利用分离常数法求解；分式型可以用数形结合法求值域．【易错指导】求解三角函数的最值（值域）时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚，不然极易出错误．V．举一反三·触类旁通考向1三角函数的值域与最值例6．（2018河北武邑调研）设当时，函数取得最大值，则（）A．B．C．D．【答案】C例7．已知函数关于直线对称，且，则的最小值为()A．B．C．C．【答案】D【解析】，故选D．例8．（2017陕西西安）已知的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∴，选B．例9．（2016湖南湘西二模）若，则的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A例10．（2016河北沧州）函数的值域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因且由，得，，，故应选D．例11．（2016安徽安庆三模）已知的图像过点，则在区间上的值域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，有，得，而，∴，其中，故，由知，，故，即的值域为，故选B．【方法点晴】本题考查两角和与差的正弦公式、三角函数的图象及三角函数...
