第2讲函数的定义域和值域1．(2016·宣城一模)函数f(x)＝的定义域是()A．[3，＋∞)B.C.D．(－∞，－3)解析：选A.由得所以x≥3，即定义域为[3，＋∞)．2．(2016·南昌诊断)函数y＝的值域为()A．[0，＋∞)B．(0，1)C．[0，1)D．[0，1]解析：选C.要使函数有意义需满足1－≥0，所以≤1，所以x≥0.由x≥0可知0<≤1，故0≤1－<1，故y＝的值域为[0，1)．3．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是()A．f(x)＝x2＋aB．f(x)＝ax2＋1C．f(x)＝ax2＋x＋1D．f(x)＝x2＋ax＋1解析：选C.当a＝0时，f(x)＝ax2＋x＋1＝x＋1为一次函数，其定义域和值域都是R.4．函数y＝2－的值域是()A．[－2，2]B．[1，2]C．[0，2]D．[－，]解析：选C.因为－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，所以0≤≤2，－2≤－≤0，0≤2－≤2，所以0≤y≤2.5．(2016·安徽省巢湖一中质检)规定a⊗b＝＋2a＋b，a，b>0，若1⊗k＝4，则函数f(x)＝k⊗x的值域为()A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C.D.解析：选A.由1⊗k＝＋2＋k＝4，解得k＝1，所以f(x)＝k⊗x＝1⊗x＝x＋＋2＝＋.因为x>0，所以f(x)>2.故选A.6．若函数y＝f(x)的定义域是[0，2016]，则函数g(x)＝的定义域是()A．[－1，2015]B．[－1，1)∪(1，2015]C．[0，2016]D．[－1，1)∪(1，2016]解析：选B.令t＝x＋1，则由已知函数y＝f(x)的定义域为[0，2016]可知f(t)中0≤t≤2016，故要使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2016，解得－1≤x≤2015，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2015]．所以函数g(x)有意义的条件是解得－1≤x<1或11，由①②解得所以a，b的值分别为，3.1．若一次函数f(x)满足f(f(x))＝x＋1，则g(x)＝(x>0)的值域为____________．解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，所以f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝k2x＋(k＋1)b，①依题意f(f(x))＝x＋1，②比较①和②的系数可得：解得k＝－1(舍去)，所以f(x)＝x＋，则g(x)＝＝x＋＋1≥2＋1＝2.当且仅当x＝时取等号，所以g(x)＝(x>0)的值域为[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)2．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．解：(1)因为函数的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0，即2a2－a－3＝0，解得a＝－1或a＝.(2)因为对一切x∈R函数值均为非负，所以Δ＝8(2a2－a－3)≤0⇒－1≤a≤.所以a＋3＞0.所以g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2＝－＋.因为二次函数g(a)在上单调递减，所以g≤g(a)≤g(－1)，即－≤g(a)≤4.所以g(a)的值域为.3．设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，要求满足条件AB＋BC＋CD＝a(常数)，∠ABC＝120°，写出横截面的面积y关于腰长x的函数，并求它的定义域和值域．解：如图，因为AB＋BC＋CD＝a，所以BC＝EF＝a－2x>0，即0
