考点测试15导数的应用(一)高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值5分、12分，中、高等难度考纲研读1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)3．会用导数解决实际问题一、基础小题1．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是()A．增函数B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增答案A解析f′(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在(0,2π)上单调递增．2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4答案C解析f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．所以f(x)在[－1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函数，所以当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝2.故选C.3．已知函数f(x)＝2ef′(e)lnx－(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为()A．2e－1B．－C．1D．2ln2答案D解析由题意知f′(x)＝－，∴f′(e)＝－，f′(e)＝，∴f′(x)＝－，令f′(x)＝0，得x＝2e，∴f(x)在(0,2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减，∴f(x)的极大值为f(2e)＝2ln(2e)－2＝2ln2，选D.4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．[－，]B．(－，)C．(－∞，－)∪(，＋∞)D．(－∞，－)答案A解析 函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1的导函数为f′(x)＝－3x2＋2ax－1，且函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，∴在(－∞，＋∞)上f′(x)≤0恒成立，即－3x2＋2ax－1≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤，∴实数a的取值范围是[－，]．故选A.5．直线y＝a分别与曲线y＝ex，y＝lnx＋1交于两点M，N，则|MN|的最小值为()A．1B．1－ln2C．ln2D．1＋ln2答案A解析分别令ex＝a，lnx＋1＝a，其中a>0，则x1＝lna，x2＝ea－1，从而|MN|＝|x1－x2|＝|lna－ea－1|，构造函数h(a)＝lna－ea－1，求导得h′(a)＝－ea－1，当a∈(0,1)时，h′(a)>0，h(a)单调递增；当a∈(1，＋∞)时，h′(a)<0，h(a)单调递减．所以h(a)有极大值h(1)＝－1.因此|MN|的最小值为|h(1)|＝1.故选A.6．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()①f(b)>f(a)>f(c)；②函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值；③函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值；④函数f(x)的最小值为f(d)．A．③B．①②C．③④D．④答案A解析由导函数图象可知在(－∞，c)，(e，＋∞)上，f′(x)>0，在(c，e)上，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上单调递增，在(c，e)上单调递减，所以f(a)
f(e)，④错误．故选A.7．已知函数f(x)＝－1＋lnx，存在x0>0，使得f(x0)≤0有解，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，－3)C．(－∞，1]D．[3，＋∞)答案C解析由于函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式f(x)＝－1＋lnx≤0有解，即a≤x－xlnx在(0，＋∞)上有解．令h(x)＝x－xlnx，则h′(x)＝1－(lnx＋1)＝－lnx，令h′(x)＝0，得x＝1，当00；当x>1时，h′(x)<0，可得当x＝1时，函数h(x)＝x－xlnx取得最大值，要使不等式a≤x－xlnx在(0，＋∞)上有解，只需a≤h(x)max＝h(1)即可，即a≤1.8．若函数f(x)＝xlnx－x2－x＋1有两个极值点，则a的取值范围为________．答案解析因为f(x)＝xlnx－x2－x＋1(x>0)，所以f′(x)＝lnx－ax，令g(x)＝lnx－ax，则g′(x)＝－a，当a≤0时，g′(x)>0恒成立，则f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，当x→0时，f′(x)→－∞；当x→＋∞时，f′(x)→＋∞，所以f(x)只有一个极值点，不符合题意．当a>0时，可得f′(x)有极大值点x＝，由于x→0时f′(x)→－∞；当x→＋∞时，f′(x)→－∞，因此原函数要有两个极值点，只要f′＝ln－1>0，解得0
