课时素养评价二十四简单幂函数的图象和性质(15分钟35分)1.下列结论正确的是()A.幂函数图象一定过原点B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数C.当α>1时,幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数【解析】选D.函数y=x-1的图象不过原点,故A不正确;y=x-1在(-∞,0)及(0,+∞)上是减函数,故B不正确;函数y=x2在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,故C不正确.2.已知幂函数f(x)=kxα的图象过点,则k+α等于()A.B.1C.D.2【解析】选A.因为幂函数f(x)=kxα(k∈R,α∈R)的图象过点,所以k=1,f==,即α=-,所以k+α=.3.在下列四个图形中,y=的图象大致是()【解析】选D.函数y=的定义域为(0,+∞),是减函数.4.幂函数的图象过点(3,),则它的单调递增区间是()A.[-1,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,0)【解析】选B.设幂函数为f(x)=xα,因为幂函数的图象过点(3,),所以f(3)=3α==,解得α=,所以f(x)=,所以幂函数的单调递增区间为[0,+∞).5.(2020·北京高一检测)如果幂函数f(x)=xa的图象经过点(2,4),则f(x)在定义域内()A.为增函数B.为减函数C.有最小值D.有最大值【解析】选C.因为幂函数f(x)=xa的图象经过点(2,4),所以f(2)=2a=4,解得a=2,所以f(x)=x2,所以f(x)在定义域先递减再递增,有最小值.【补偿训练】已知2.4α>2.5α,则α的取值范围是.【解析】因为0<2.4<2.5,而2.4α>2.5α,所以y=xα在(0,+∞)上为减函数,故α<0.答案:(-∞,0)6.已知幂函数f(x)=(-20,解得:-3(x1>x2>0)的函数的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【解题指南】解决该题的关键是正确理解f>(x1>x2>0)的含义.【解析】选A.①函数f(x)=x的图象是一条直线,故当x1>x2>0时,f=;②函数f(x)=x2的图象是凹形曲线,故当x1>x2>0时,f<;③在第一象限,函数f(x)=x3的图象是凹形曲线,故当x1>x2>0时,f<;④函数f(x)=的图象是凸形曲线,故当x1>x2>0时,f>;⑤在第一象限,函数f(x)=的图象是一条凹形曲线,故当x1>x2>0时,f<.故仅有函数f(x)=满足当x1>x2>0时,f>.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.下列函数中,其定义域和值域相同的函数是()A.y=B.y=C.y=D.y=【解析】选A、B、C.A中y==,定义域、值域都为R;B中y==定义域与值域都为(0,+∞);C中y=的定义域、值域也为R;D中y==定义域为R,而值域为[0,+∞).三、填空题(每小题5分,共10分)5.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,则实数m=.【解析】在幂函数f(x)=(m2-m-1)中,令m2-m-1=1,得m2-m-2=0,解得m=2或m=-1;当m=2时,m2-2m-2=-2,函数f(x)=x-2,在(0,+∞)上单调递减,满足题意;当m=-1时,m2-2m-2=1,函数f(x)=x,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意;所以实数m=2.答案:26.已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则f(2)的值为.【解析】因为幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则指数是偶数且大于0,因为-m2-2m+3=-(m+1)2+4≤4,因此指数等于2或4,当指数等于2时,求得m非整数,所以m=-1,即f(x)=x4.所以f(2)=24=16.答案:16四、解答题7.(10分)已知幂函数f(x)=(m∈N*)经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.【解析】因为幂函数f(x)经过点(2,),所以=,即=.所以m2+m=2.解得m=1或m=-2.又因为m∈N*,所以m=1.所以f(x)=,则函数的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.由f(2-a)>f(a-1),得解得1≤a<.所以a的取值范围为.
