提升考能、阶段验收专练卷(三)数列、不等式、推理与证明(时间：80分钟满分：120分)Ⅰ.小题提速练(限时35分钟)填空题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2016·南京师大附中月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝6，则S5＝________.解析：由等差中项可得a2＋a4＝a1＋a5，所以S5＝＝15.答案：152．一个由正数组成的等比数列，它的前4项和是前2项和的5倍，则此数列的公比为________．解析：由题意知an＞0，S4＝5S2，显然公比q≠1，且q＞0，所以＝，即q4－5q2＋4＝0，解得q2＝4或q2＝1(舍去)，又q＞0，所以q＝2.答案：23．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n个等式为_________________________________________________．解析：观察这些等式，第一个等式左边1个数，从1开始；第二个等式左边3个数相加，从2开始；第三个等式左边5个数相加，从3开始；…；第n个等式左边是2n－1个数相加，从n开始．等式的右边为左边2n－1个数的中间数的平方，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)24．(2016·苏州测试)若等差数列{an}前n项和Sn有最大值，且＜－1，则当Sn取最大值时，n的值为________．解析：由等差数列的前n项和有最大值，可知d＜0，再由＜－1，知a11＞0，a12＜0，从而使Sn取最大值的n＝11.答案：115．若关于x的不等式x2－ax－6a＜0有解且解的区间长度不超过5个单位长度，则a的取值范围是________．解析：由x2－ax－6a＜0有解得a2＋24a＞0，①由解的区间长度不超过5个单位长度，得≤5，②由①②得－25≤a＜－24或0＜a≤1.答案：[－25，－24)∪(0,1]6．已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：______________________________________.解析：由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴＝.答案：＝7．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是________．解析：由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号1成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案：28．(2016·南京调研)已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝kx－3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为________．解析：满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．因为直线y＝kx－3过定点(0，－3)，所以当y＝kx－3过点C(1,0)时，k＝3；当y＝kx－3过点B(－1,0)时，k＝－3，所以k≤－3或k≥3时，直线y＝kx－3与平面区域D有公共点．答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)9．(2016·苏州调研)已知数列{an}满足an＋1＝若a3＝1，则a1的所有可能取值为________．解析：当a2为奇数时，a3＝a2－4＝1，a2＝5；当a2为偶数时，a3＝a2＝1，a2＝2；当a1为奇数时，a2＝a1－2＝5，a1＝7，或a2＝a1－2＝2，a1＝4(舍去)；当a1为偶数时，a2＝a1＝5，a1＝10，或a2＝a1＝2，a1＝4.综上，a1的可能取值为4,7,10.答案：4,7,1010．观察下列各式：＝2·，＝3·，＝4·，…，若＝9·，则m＝________.解析：由于＝2·可改写为＝2·；＝3·可改写为＝3·；＝4·可改写为＝4·，由此可归纳出：＝9·中，m＝93－1＝729－1＝728.答案：72811．已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是______________．解析：由f(x)＞0，得ax2＋(ab－1)x－b＞0，又其解集是(－1,3)，∴a＜0，且解得a＝－1或a＝(舍去)，∴a＝－1，b＝－3，∴f(x)＝－x2＋2x＋3，∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3＜0，得4x2＋4x－3＞0，解得x＞或x＜－.答案：∪12．(2016·洛阳一测)若关于x的不等式ax2－|x|＋2a<0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．解析：当a＝0时，不等式为－|x|<0，解集不为空集．当a≠0时，由题意知a>0，令t＝|x|，则原不等式等价于at2－t＋2a<0(t≥0)，所以a<(t≥0)．根据题意知a≥max(t≥0)．而≤＝，所以a≥.答案：Ⅱ.大题规范练(限时45分钟)2解答题(本大题共4小题，共60分)13．(本小题满分14分)设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证...
