圆锥曲线中的热点问题1．过抛物线y＝2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝()A．－2B．－C．－4D．－2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则的最小值为()A.B.C．2D．13．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A．5B．8C.－1D.＋24．过点P(－3,0)的直线l与双曲线－＝1交于点A，B，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，弦AB的中点为M，OM的斜率为k2(O为坐标原点)，则k1·k2＝()A.B.C.D．165．抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是()A．(1,2)B．(0,0)C.D．(1,4)6．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(1,1＋)D．(2,1＋)7．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C.D.8．若AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F1为椭圆的左焦点，则△F1AB面积的最大值为()A．6B．12C．24D．489．设P为双曲线x2－＝1右支上的一点，F1、F2是该双曲线的左、右焦点．若△PF1F2的面积为12，则∠F1PF2等于()A.B.C.D.10．若A为抛物线y＝x2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B、C两点，则AB·AC等于________．11．已知曲线－＝1与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且OP·OQ＝0(O为原点)，则－的值为________．12．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线．若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别是e1，e2，则当它们的实轴，虚轴都在变化时，e＋e的最小值是________．13．设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________．14．(10分)已知抛物线y2＝4x，过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C.(1)求证：|MA|、|MC|、|MB|成等比数列；(2)设MA＝αAC，MB＝βBC，试问α＋β是否为定值．若是，求出此定值；若不是，请说明理由．15．(13分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，点D(0,1)在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点F2且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G(t,0)，求点G横坐标t的取值范围．(3)试用t表示△GAB的面积，并求△GAB面积的最大值．16．(12分)已知动直线与椭圆C：＋＝1交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ＝，其中O为坐标原点．(1)证明x＋x和y＋y均为定值；(2)设线段PQ的中点为M，求|OM|·|PQ|的最大值；(3)椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．答案解析【基础热身】1．D[解析]抛物线的焦点坐标是，设直线AB的方程为y＝kx＋，代入抛物线方程得2x2－kx－＝0，根据韦达定理得x1x2＝－.2．B[解析]根据基本不等式≥，只要根据双曲线的离心率是2，求出的值即可．由于已知双曲线的离心率是2，故2＝＝＝，解得＝，所以的最小值是.3．C[解析]点P到抛物线的准线距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离．圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是－1，即点P到Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值为－1.4．A[解析]A设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M的坐标是，AB的斜率k1＝，OM的斜率k2＝，故k1·k2＝，根据双曲线方程y2＝(x2－16)，故y－y＝(x－x)，故k1·k2＝.【能力提升】5．C[解析]抛物线上的点到直线y＝4x－5的距离是d＝＝＝，显然这个函数当x＝时取得最小值，此时y＝1.6．B[解析]根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB：x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠ABF<，即
1，故1
