考点集训(四十八)第48讲立体几何中的综合问题题号答案1471．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为A.B.C.D.2．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝12，∠ACB＝30°，AB＝6，D为△ABC的外心，则PB与BD所成角的余弦值为____________．3．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE(A′∉平面ABC)是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：①平面A′FG⊥平面ABC；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′－DEF的体积最大值为a3；④动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．其中正确的命题是________(写出所有正确命题的编号)．4．(2015全国新课标Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛5．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________m3.6．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．7．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为A.B．16πC．9πD.8．如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.(1)证明：AC⊥平面BCDE；(2)求三棱锥E－ABC的体积．9．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.(1)证明：平面ADE⊥平面BCE；(2)求点D到平面ACE的距离．第48讲立体几何中的综合问题【考点集训】1．C2.3.①②③④4.B5.6．90°7.A8．【解析】(1)证明：如图，连接BD，在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝.由AC＝，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE.(2)连EC，在Rt△ACB中，由AC＝，AB＝2⇒BC＝，又由BD⊥BC，∠EBD＝45°可知∠EBC＝135°故S△BEC＝×1××sin135°＝故VE－ABC＝VA－BEC＝××＝.9．【解析】(1)因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE.因为平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以BC⊥平面ABE，从而BC⊥AE.于是AE⊥平面BCE，故平面ADE⊥平面BCE.(2)方法一：连结BD交AC于点M，则点M是BD的中点，所以点D与点B到平面ACE的距离相等．因为BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离．因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形．因为AB＝2，所以BE＝2sin45°＝.在Rt△CBE中，CE＝＝.所以BF＝＝＝.故点D到平面ACE的距离是.方法二：过点E作EG⊥AB，垂足为G，因为平面ABCD⊥平面ABE，所以EG⊥平面ABCD.因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形，从而G为AB的中点．又AB＝2，所以EG＝1.因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥EC.又AE＝BE＝2sin45°＝，CE＝＝.设点D到平面ACE的距离为h，因为VD－ACE＝VE－ACD，则S△ACE·h＝S△ACD·EG.所以h＝＝＝，故点D到平面ACE的距离是.
